Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oawordex3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oawordex3 42895
Description: When ๐ด is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and ๐ต is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, some ordinal sum of ๐ด is equal to ๐ต. This is a specialization of oawordex 8576. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
naddwordnex.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
naddwordnex.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘))
naddwordnex.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ท)
naddwordnex.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
naddwordnex.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ฯ‰)
naddwordnex.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
oawordex3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oawordex3
StepHypRef Expression
1 naddwordnex.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
2 naddwordnex.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘))
3 naddwordnex.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ท)
4 naddwordnex.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
5 naddwordnex.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ฯ‰)
6 naddwordnex.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘€)
71, 2, 3, 4, 5, 6naddwordnexlem1 42892 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
8 omelon 9669 . . . . . . 7 ฯ‰ โˆˆ On
98a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
10 onelon 6389 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
114, 3, 10syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
12 omcl 8555 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
139, 11, 12syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
14 nnon 7874 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘€ โˆˆ On)
155, 14syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ On)
16 oacl 8554 . . . . 5 (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐‘€ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) โˆˆ On)
1713, 15, 16syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) โˆˆ On)
181, 17eqeltrd 2825 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
19 omcl 8555 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ท) โˆˆ On)
209, 4, 19syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ท) โˆˆ On)
216, 5jca 510 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ ฯ‰))
22 ontr1 6410 . . . . . . 7 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰))
239, 21, 22sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
24 nnon 7874 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
26 oacl 8554 . . . . 5 (((ฯ‰ ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘) โˆˆ On)
2720, 25, 26syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘) โˆˆ On)
282, 27eqeltrd 2825 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
29 oawordex 8576 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต))
3018, 28, 29syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต))
317, 30mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   โІ wss 3939  Oncon0 6364  (class class class)co 7416  ฯ‰com 7868   +o coa 8482   ยทo comu 8483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-oadd 8489  df-omul 8490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator