Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oawordex3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oawordex3 42727
Description: When ๐ด is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and ๐ต is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, some ordinal sum of ๐ด is equal to ๐ต. This is a specialization of oawordex 8558. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
naddwordnex.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
naddwordnex.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘))
naddwordnex.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ท)
naddwordnex.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
naddwordnex.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ฯ‰)
naddwordnex.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
oawordex3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oawordex3
StepHypRef Expression
1 naddwordnex.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
2 naddwordnex.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘))
3 naddwordnex.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ท)
4 naddwordnex.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
5 naddwordnex.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ฯ‰)
6 naddwordnex.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘€)
71, 2, 3, 4, 5, 6naddwordnexlem1 42724 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
8 omelon 9643 . . . . . . 7 ฯ‰ โˆˆ On
98a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
10 onelon 6383 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
114, 3, 10syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
12 omcl 8537 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
139, 11, 12syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
14 nnon 7858 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘€ โˆˆ On)
155, 14syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ On)
16 oacl 8536 . . . . 5 (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐‘€ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) โˆˆ On)
1713, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) โˆˆ On)
181, 17eqeltrd 2827 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
19 omcl 8537 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ท) โˆˆ On)
209, 4, 19syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ท) โˆˆ On)
216, 5jca 511 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ ฯ‰))
22 ontr1 6404 . . . . . . 7 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰))
239, 21, 22sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
24 nnon 7858 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
26 oacl 8536 . . . . 5 (((ฯ‰ ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘) โˆˆ On)
2720, 25, 26syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘) โˆˆ On)
282, 27eqeltrd 2827 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
29 oawordex 8558 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต))
3018, 28, 29syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โІ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต))
317, 30mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (๐ด +o ๐‘ฅ) = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943  Oncon0 6358  (class class class)co 7405  ฯ‰com 7852   +o coa 8464   ยทo comu 8465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-oadd 8471  df-omul 8472
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator