![]() |
Mathbox for Richard Penner |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > oawordex3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: When ๐ด is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and ๐ต is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, some ordinal sum of ๐ด is equal to ๐ต. This is a specialization of oawordex 8558. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
naddwordnex.a | โข (๐ โ ๐ด = ((ฯ ยทo ๐ถ) +o ๐)) |
naddwordnex.b | โข (๐ โ ๐ต = ((ฯ ยทo ๐ท) +o ๐)) |
naddwordnex.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ท) |
naddwordnex.d | โข (๐ โ ๐ท โ On) |
naddwordnex.m | โข (๐ โ ๐ โ ฯ) |
naddwordnex.n | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
oawordex3 | โข (๐ โ โ๐ฅ โ On (๐ด +o ๐ฅ) = ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | naddwordnex.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด = ((ฯ ยทo ๐ถ) +o ๐)) | |
2 | naddwordnex.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = ((ฯ ยทo ๐ท) +o ๐)) | |
3 | naddwordnex.c | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ท) | |
4 | naddwordnex.d | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ On) | |
5 | naddwordnex.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ฯ) | |
6 | naddwordnex.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | naddwordnexlem1 42724 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
8 | omelon 9643 | . . . . . . 7 โข ฯ โ On | |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ ฯ โ On) |
10 | onelon 6383 | . . . . . . 7 โข ((๐ท โ On โง ๐ถ โ ๐ท) โ ๐ถ โ On) | |
11 | 4, 3, 10 | syl2anc 583 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ On) |
12 | omcl 8537 | . . . . . 6 โข ((ฯ โ On โง ๐ถ โ On) โ (ฯ ยทo ๐ถ) โ On) | |
13 | 9, 11, 12 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ (ฯ ยทo ๐ถ) โ On) |
14 | nnon 7858 | . . . . . 6 โข (๐ โ ฯ โ ๐ โ On) | |
15 | 5, 14 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ On) |
16 | oacl 8536 | . . . . 5 โข (((ฯ ยทo ๐ถ) โ On โง ๐ โ On) โ ((ฯ ยทo ๐ถ) +o ๐) โ On) | |
17 | 13, 15, 16 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ((ฯ ยทo ๐ถ) +o ๐) โ On) |
18 | 1, 17 | eqeltrd 2827 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ On) |
19 | omcl 8537 | . . . . . 6 โข ((ฯ โ On โง ๐ท โ On) โ (ฯ ยทo ๐ท) โ On) | |
20 | 9, 4, 19 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ (ฯ ยทo ๐ท) โ On) |
21 | 6, 5 | jca 511 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ โ ๐ โง ๐ โ ฯ)) |
22 | ontr1 6404 | . . . . . . 7 โข (ฯ โ On โ ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ฯ) โ ๐ โ ฯ)) | |
23 | 9, 21, 22 | sylc 65 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ ฯ) |
24 | nnon 7858 | . . . . . 6 โข (๐ โ ฯ โ ๐ โ On) | |
25 | 23, 24 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ On) |
26 | oacl 8536 | . . . . 5 โข (((ฯ ยทo ๐ท) โ On โง ๐ โ On) โ ((ฯ ยทo ๐ท) +o ๐) โ On) | |
27 | 20, 25, 26 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ((ฯ ยทo ๐ท) +o ๐) โ On) |
28 | 2, 27 | eqeltrd 2827 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ On) |
29 | oawordex 8558 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด โ ๐ต โ โ๐ฅ โ On (๐ด +o ๐ฅ) = ๐ต)) | |
30 | 18, 28, 29 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต โ โ๐ฅ โ On (๐ด +o ๐ฅ) = ๐ต)) |
31 | 7, 30 | mpbid 231 | 1 โข (๐ โ โ๐ฅ โ On (๐ด +o ๐ฅ) = ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 โ wss 3943 Oncon0 6358 (class class class)co 7405 ฯcom 7852 +o coa 8464 ยทo comu 8465 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-oadd 8471 df-omul 8472 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |