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Theorem noetasuplem4 27781
Description: Lemma for noeta 27788. When 𝐴 and 𝐵 are separated, then 𝑍 is a lower bound for 𝐵. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetasuplem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
Assertion
Ref Expression
noetasuplem4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑔,𝑥   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑎,𝑔,𝑥   𝑆,𝑎,𝑔   𝐵,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem noetasuplem4
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3289 . . 3 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐵𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏)
2 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 No )
3 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 No )
54sselda 3983 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
6 noetasuplem.1 . . . . . . 7 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
76nosupbnd2 27761 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑏 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
82, 3, 5, 7syl3anc 1373 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
9 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝑏𝐵)
10 ssel2 3978 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 No 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
114, 9, 10syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑏 No )
12 nodmord 27698 . . . . . . . . . 10 (𝑏 No → Ord dom 𝑏)
13 ordirr 6402 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑏 → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)
15 ssun2 4179 . . . . . . . . . . 11 suc ( bday 𝐵) ⊆ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
16 bdayval 27693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 No → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
18 bdayfo 27722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bday : No onto→On
19 fofn 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → bday Fn No )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bday Fn No
21 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday Fn No 𝐵 No 𝑏𝐵) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
2220, 21mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 No 𝑏𝐵) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
234, 9, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
2417, 23eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵))
25 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
27 nodmon 27695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 No → dom 𝑏 ∈ On)
28 imassrn 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday 𝐵) ⊆ ran bday
29 forn 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → ran bday = On)
3018, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran bday = On
3128, 30sseqtri 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday 𝐵) ⊆ On
32 ssorduni 7799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday 𝐵) ⊆ On → Ord ( bday 𝐵))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ( bday 𝐵)
34 ordsssuc 6473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑏 ∈ On ∧ Ord ( bday 𝐵)) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3533, 34mpan2 691 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑏 ∈ On → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3611, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3726, 36mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵))
3815, 37sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)))
39 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏 → (dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) ↔ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏))
4038, 39syl5ibcom 245 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ((dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏 → dom 𝑏 ∈ dom 𝑏))
4114, 40mtod 198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏)
42 noetasuplem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
4342dmeqi 5915 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑍 = dom (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
44 dmun 5921 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
4543, 44eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
46 1oex 8516 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
4746snnz 4776 . . . . . . . . . . . 12 {1o} ≠ ∅
48 dmxp 5939 . . . . . . . . . . . 12 ({1o} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
5049uneq2i 4165 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) = (dom 𝑆 ∪ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
51 undif2 4477 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∪ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
5245, 50, 513eqtri 2769 . . . . . . . . 9 dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
53 dmeq 5914 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 𝑏 → dom 𝑍 = dom 𝑏)
5452, 53eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (𝑍 = 𝑏 → (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏)
5541, 54nsyl 140 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ 𝑍 = 𝑏)
56 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (𝑍𝑏 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑏)
57 notnotr 130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆)
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆)
5958fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
6042reseq1i 5993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
61 resundir 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
62 df-res 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
63 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
64 xpdisj1 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
6662, 65eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
6766uneq2i 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
68 un0 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
6967, 68eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
7060, 61, 693eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
71 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
726nosupno 27748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑆 No )
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑆 No )
75 nofun 27694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 No → Fun 𝑆)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun 𝑆)
77 funrel 6583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
78 resdm 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8070, 79eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8180fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
8259, 81eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
83 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐴 No )
84 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐴 ∈ V)
85 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 ∈ V)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐵 ∈ V)
876, 42noetasuplem1 27778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
8883, 84, 86, 87syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍 No )
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 No )
9011adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑏 No )
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑏 No )
92 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍𝑏)
93 nosepne 27725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9489, 91, 92, 93syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9582, 94eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9658fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9795, 96neeqtrrd 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
98 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
99 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (𝑆𝑞) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
10098, 99neeq12d 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆𝑞) ↔ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})))
101 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆𝑞) ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
102 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ↔ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
103100, 101, 1023bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})))
104103rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
10558, 97, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
106 rexeq 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
107105, 106syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
108 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
109107, 108imbitrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
11057, 109syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
111110orrd 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
112 nofun 27694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 No → Fun 𝑏)
113 funres 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝑏 → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆))
11491, 112, 1133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆))
115 eqfunfv 7056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∧ Fun 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
116114, 76, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
117 ianor 984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
118117con1bii 356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
119116, 118bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ ¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
120119con2bid 354 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
121111, 120mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
122121pm2.21d 121 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑍 <s 𝑏))
12380breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) ↔ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))
124 nodmon 27695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
12574, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 ∈ On)
126 sltres 27707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 No 𝑏 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
12789, 91, 125, 126syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
128123, 127sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
129 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
131 noreson 27705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
13291, 125, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
133 sltso 27721 . . . . . . . . . . . . . . 15 <s Or No
134 sotric 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( <s Or No ∧ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No )) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
135133, 134mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
136132, 74, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
137136con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
138130, 137mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))
139122, 128, 138mpjaod 861 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏)
14088adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍 No )
14190adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏 No )
142 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍𝑏)
14342fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
144 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
145144, 72, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → Fun 𝑆)
146 funfn 6596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑆𝑆 Fn dom 𝑆)
147145, 146sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑆 Fn dom 𝑆)
14846fconst 6794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}):(suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1o}
149 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}):(suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1o} → ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
152 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅)
154 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝) ↔ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝))
155154rabbii 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)}
156155inteqi 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)}
157142necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏𝑍)
158 nosepssdm 27731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 No 𝑍 No 𝑏𝑍) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
159141, 140, 157, 158syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
160156, 159eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
161141, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
162 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 No )
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐵 No )
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝐵 No )
165 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑏𝐵)
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏𝐵)
167164, 166, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
168161, 167eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵))
169168, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
170141, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
171169, 170mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵))
172 nosepon 27710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
173140, 141, 142, 172syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
174 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
175 ordsuc 7833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord ( bday 𝐵) ↔ Ord suc ( bday 𝐵))
17633, 175mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ord suc ( bday 𝐵)
177 ordtr2 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∧ Ord suc ( bday 𝐵)) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
178176, 177mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
179173, 174, 1783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
180160, 171, 179mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵))
181 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
182144, 72, 1243syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑆 ∈ On)
183 ontri1 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑆 ∈ On ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On) → (dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆))
184182, 173, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆))
185181, 184mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆)
186180, 185eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
187 fvun2 7001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 Fn dom 𝑆 ∧ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∧ ((dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅ ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))) → ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
188147, 151, 153, 186, 187syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
189143, 188eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
19046fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . 13 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1o)
191186, 190syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1o)
192189, 191eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1o)
193 nosep1o 27726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) ∧ (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1o) → 𝑍 <s 𝑏)
194140, 141, 142, 192, 193syl31anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍 <s 𝑏)
195 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍𝑏)
19688, 90, 195, 172syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
197196, 174syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
198 nodmord 27698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
19971, 72, 1983syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → Ord dom 𝑆)
200 ordtri2or 6482 . . . . . . . . . . 11 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∧ Ord dom 𝑆) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
201197, 199, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
202139, 194, 201mpjaodan 961 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍 <s 𝑏)
203202ex 412 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (𝑍𝑏𝑍 <s 𝑏))
20456, 203biimtrrid 243 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (¬ 𝑍 = 𝑏𝑍 <s 𝑏))
20555, 204mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑍 <s 𝑏)
206205expr 456 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆𝑍 <s 𝑏))
2078, 206sylbid 240 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏𝑍 <s 𝑏))
208207ralimdva 3167 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑏𝐵𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏))
2091, 208biimtrid 242 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏))
2102093impia 1118 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   cuni 4907   cint 4946   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Rel wrel 5690  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cio 6512  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  crio 7387  1oc1o 8499  2oc2o 8500   No csur 27684   <s cslt 27685   bday cbday 27686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689
This theorem is referenced by:  noetalem1  27786
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