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Theorem cantnflt 9113
 Description: An upper bound on the partial sums of the CNF function. Since each term dominates all previous terms, by induction we can bound the whole sum with any exponent 𝐴 ↑o 𝐶 where 𝐶 is larger than any exponent (𝐺‘𝑥), 𝑥 ∈ 𝐾 which has been summed so far. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnflt.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt.k (𝜑𝐾 ∈ suc dom 𝐺)
cantnflt.c (𝜑𝐶 ∈ On)
cantnflt.s (𝜑 → (𝐺𝐾) ⊆ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cantnflt (𝜑 → (𝐻𝐾) ∈ (𝐴o 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝑘,𝐾,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnflt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
2 cantnflt.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ On)
3 cantnflt.a . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
4 oen0 8190 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∅ ∈ (𝐴o 𝐶))
51, 2, 3, 4syl21anc 835 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴o 𝐶))
6 fveq2 6646 . . . . 5 (𝐾 = ∅ → (𝐻𝐾) = (𝐻‘∅))
7 0ex 5187 . . . . . 6 ∅ ∈ V
8 cantnfval.h . . . . . . 7 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
98seqom0g 8070 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (𝐻‘∅) = ∅)
107, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐻‘∅) = ∅
116, 10syl6eq 2871 . . . 4 (𝐾 = ∅ → (𝐻𝐾) = ∅)
1211eleq1d 2895 . . 3 (𝐾 = ∅ → ((𝐻𝐾) ∈ (𝐴o 𝐶) ↔ ∅ ∈ (𝐴o 𝐶)))
135, 12syl5ibrcom 249 . 2 (𝜑 → (𝐾 = ∅ → (𝐻𝐾) ∈ (𝐴o 𝐶)))
142adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝐶 ∈ On)
15 eloni 6177 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → Ord 𝐶)
17 cantnflt.s . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐾) ⊆ 𝐶)
1817adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐺𝐾) ⊆ 𝐶)
19 cantnfcl.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2019oif 8972 . . . . . . . . 9 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
21 ffn 6490 . . . . . . . . 9 (𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
2220, 21mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
23 cantnflt.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ suc dom 𝐺)
2419oicl 8971 . . . . . . . . . . . . 13 Ord dom 𝐺
25 ordsuc 7507 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord dom 𝐺 ↔ Ord suc dom 𝐺)
2624, 25mpbi 232 . . . . . . . . . . . 12 Ord suc dom 𝐺
27 ordelon 6191 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord suc dom 𝐺𝐾 ∈ suc dom 𝐺) → 𝐾 ∈ On)
2826, 23, 27sylancr 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ On)
29 ordsssuc 6253 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ On ∧ Ord dom 𝐺) → (𝐾 ⊆ dom 𝐺𝐾 ∈ suc dom 𝐺))
3028, 24, 29sylancl 588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ⊆ dom 𝐺𝐾 ∈ suc dom 𝐺))
3123, 30mpbird 259 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ⊆ dom 𝐺)
3231adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝐾 ⊆ dom 𝐺)
33 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
3433sucid 6246 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ suc 𝑥
35 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝐾 = suc 𝑥)
3634, 35eleqtrrid 2918 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝑥𝐾)
37 fnfvima 6972 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝐾 ⊆ dom 𝐺𝑥𝐾) → (𝐺𝑥) ∈ (𝐺𝐾))
3822, 32, 36, 37syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐺𝑥) ∈ (𝐺𝐾))
3918, 38sseldd 3947 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
40 ordsucss 7511 . . . . . 6 (Ord 𝐶 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → suc (𝐺𝑥) ⊆ 𝐶))
4116, 39, 40sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → suc (𝐺𝑥) ⊆ 𝐶)
42 suppssdm 7821 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
43 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝑆)
44 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
45 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ On)
4644, 1, 45cantnfs 9107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
4743, 46mpbid 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
4847simpld 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
4942, 48fssdm 6506 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
50 onss 7483 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
5145, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ⊆ On)
5249, 51sstrd 3956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
5352adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
5423adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝐾 ∈ suc dom 𝐺)
5535, 54eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → suc 𝑥 ∈ suc dom 𝐺)
56 ordsucelsuc 7515 . . . . . . . . . . 11 (Ord dom 𝐺 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ suc 𝑥 ∈ suc dom 𝐺))
5724, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ suc 𝑥 ∈ suc dom 𝐺)
5855, 57sylibr 236 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
5920ffvelrni 6826 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) ∈ (𝐹 supp ∅))
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐺𝑥) ∈ (𝐹 supp ∅))
6153, 60sseldd 3947 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐺𝑥) ∈ On)
62 suceloni 7506 . . . . . . 7 ((𝐺𝑥) ∈ On → suc (𝐺𝑥) ∈ On)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → suc (𝐺𝑥) ∈ On)
641adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝐴 ∈ On)
653adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → ∅ ∈ 𝐴)
66 oewordi 8195 . . . . . 6 (((suc (𝐺𝑥) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (suc (𝐺𝑥) ⊆ 𝐶 → (𝐴o suc (𝐺𝑥)) ⊆ (𝐴o 𝐶)))
6763, 14, 64, 65, 66syl31anc 1369 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (suc (𝐺𝑥) ⊆ 𝐶 → (𝐴o suc (𝐺𝑥)) ⊆ (𝐴o 𝐶)))
6841, 67mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐴o suc (𝐺𝑥)) ⊆ (𝐴o 𝐶))
6935fveq2d 6650 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐻𝐾) = (𝐻‘suc 𝑥))
70 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝑥 ∈ ω)
71 simpl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → 𝜑)
72 eleq1 2898 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∅ ∈ dom 𝐺))
73 suceq 6232 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → suc 𝑥 = suc ∅)
7473fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻‘suc 𝑥) = (𝐻‘suc ∅))
75 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝐺𝑥) = (𝐺‘∅))
76 suceq 6232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑥) = (𝐺‘∅) → suc (𝐺𝑥) = suc (𝐺‘∅))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → suc (𝐺𝑥) = suc (𝐺‘∅))
7877oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐴o suc (𝐺𝑥)) = (𝐴o suc (𝐺‘∅)))
7974, 78eleq12d 2905 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻‘suc ∅) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘∅))))
8072, 79imbi12d 347 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥))) ↔ (∅ ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc ∅) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘∅)))))
81 eleq1 2898 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑦 ∈ dom 𝐺))
82 suceq 6232 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → suc 𝑥 = suc 𝑦)
8382fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘suc 𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
84 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
85 suceq 6232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑦) → suc (𝐺𝑥) = suc (𝐺𝑦))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → suc (𝐺𝑥) = suc (𝐺𝑦))
8786oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴o suc (𝐺𝑥)) = (𝐴o suc (𝐺𝑦)))
8883, 87eleq12d 2905 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦))))
8981, 88imbi12d 347 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))))
90 eleq1 2898 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝐺))
91 suceq 6232 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → suc 𝑥 = suc suc 𝑦)
9291fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻‘suc 𝑥) = (𝐻‘suc suc 𝑦))
93 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺‘suc 𝑦))
94 suceq 6232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑥) = (𝐺‘suc 𝑦) → suc (𝐺𝑥) = suc (𝐺‘suc 𝑦))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → suc (𝐺𝑥) = suc (𝐺‘suc 𝑦))
9695oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴o suc (𝐺𝑥)) = (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))
9792, 96eleq12d 2905 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦))))
9890, 97imbi12d 347 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥))) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))))
9948adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
10020ffvelrni 6826 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘∅) ∈ (𝐹 supp ∅))
10149sselda 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐺‘∅) ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘∅) ∈ 𝐵)
102100, 101sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘∅) ∈ 𝐵)
10399, 102ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ 𝐴)
1041adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
105 onelon 6192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ On)
106104, 103, 105syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ On)
10752sselda 3946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐺‘∅) ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘∅) ∈ On)
108100, 107sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘∅) ∈ On)
109 oecl 8140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺‘∅) ∈ On) → (𝐴o (𝐺‘∅)) ∈ On)
110104, 108, 109syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐴o (𝐺‘∅)) ∈ On)
1113adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → ∅ ∈ 𝐴)
112 oen0 8190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺‘∅) ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∅ ∈ (𝐴o (𝐺‘∅)))
113104, 108, 111, 112syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → ∅ ∈ (𝐴o (𝐺‘∅)))
114 omord2 8171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴o (𝐺‘∅)) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (𝐴o (𝐺‘∅))) → ((𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) ∈ ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o 𝐴)))
115106, 104, 110, 113, 114syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → ((𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) ∈ ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o 𝐴)))
116103, 115mpbid 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) ∈ ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o 𝐴))
117 peano1 7579 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ dom 𝐺 → ∅ ∈ ω)
11944, 1, 45, 19, 43, 8cantnfsuc 9111 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐻‘suc ∅) = (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o (𝐻‘∅)))
120118, 119sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘suc ∅) = (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o (𝐻‘∅)))
12110oveq2i 7144 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o (𝐻‘∅)) = (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o ∅)
122 omcl 8139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴o (𝐺‘∅)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘∅)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) ∈ On)
123110, 106, 122syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) ∈ On)
124 oa0 8119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) ∈ On → (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o ∅) = ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))))
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o ∅) = ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))))
126121, 125syl5eq 2867 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))) +o (𝐻‘∅)) = ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))))
127120, 126eqtrd 2855 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘suc ∅) = ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o (𝐹‘(𝐺‘∅))))
128 oesuc 8130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺‘∅) ∈ On) → (𝐴o suc (𝐺‘∅)) = ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o 𝐴))
129104, 108, 128syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐴o suc (𝐺‘∅)) = ((𝐴o (𝐺‘∅)) ·o 𝐴))
130116, 127, 1293eltr4d 2926 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘suc ∅) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘∅)))
131130ex 415 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc ∅) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘∅))))
132 ordtr 6181 . . . . . . . . . . . 12 (Ord dom 𝐺 → Tr dom 𝐺)
13324, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Tr dom 𝐺
134 trsuc 6251 . . . . . . . . . . 11 ((Tr dom 𝐺 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
135133, 134mpan 688 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺𝑦 ∈ dom 𝐺)
136135imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦))) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦))))
1371ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → 𝐴 ∈ On)
138 eloni 6177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → Ord 𝐴)
14048ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → 𝐹:𝐵𝐴)
14149ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
14220ffvelrni 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
143142ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
144141, 143sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ 𝐵)
145140, 144ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ 𝐴)
146 ordsucss 7511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝐴 → ((𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ 𝐴 → suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ⊆ 𝐴))
147139, 145, 146sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ⊆ 𝐴)
148 onelon 6192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On)
149137, 145, 148syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On)
150 suceloni 7506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On → suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On)
15252ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
153152, 143sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ On)
154 oecl 8140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺‘suc 𝑦) ∈ On) → (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On)
155137, 153, 154syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On)
156 omwordi 8175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On) → (suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ⊆ ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o 𝐴)))
157151, 137, 155, 156syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ⊆ ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o 𝐴)))
158147, 157mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ⊆ ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o 𝐴))
159 oesuc 8130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺‘suc 𝑦) ∈ On) → (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)) = ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o 𝐴))
160137, 153, 159syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)) = ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o 𝐴))
161158, 160sseqtrrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ⊆ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))
162 eloni 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺‘suc 𝑦) ∈ On → Ord (𝐺‘suc 𝑦))
163153, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → Ord (𝐺‘suc 𝑦))
164 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
165164sucid 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ suc 𝑦
166164sucex 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 suc 𝑦 ∈ V
167166epeli 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 E suc 𝑦𝑦 ∈ suc 𝑦)
168165, 167mpbir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 E suc 𝑦
169 ovexd 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
17044, 1, 45, 19, 43cantnfcl 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
171170simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
17219oiiso 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
173169, 171, 172syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
174173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
175135ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
176 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → suc 𝑦 ∈ dom 𝐺)
177 isorel 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) ∧ (𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝐺)) → (𝑦 E suc 𝑦 ↔ (𝐺𝑦) E (𝐺‘suc 𝑦)))
178174, 175, 176, 177syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝑦 E suc 𝑦 ↔ (𝐺𝑦) E (𝐺‘suc 𝑦)))
179168, 178mpbii 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺𝑦) E (𝐺‘suc 𝑦))
180 fvex 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺‘suc 𝑦) ∈ V
181180epeli 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑦) E (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝑦) ∈ (𝐺‘suc 𝑦))
182179, 181sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐺‘suc 𝑦))
183 ordsucss 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord (𝐺‘suc 𝑦) → ((𝐺𝑦) ∈ (𝐺‘suc 𝑦) → suc (𝐺𝑦) ⊆ (𝐺‘suc 𝑦)))
184163, 182, 183sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → suc (𝐺𝑦) ⊆ (𝐺‘suc 𝑦))
18520ffvelrni 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
186175, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
187152, 186sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐺𝑦) ∈ On)
188 suceloni 7506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑦) ∈ On → suc (𝐺𝑦) ∈ On)
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → suc (𝐺𝑦) ∈ On)
1903ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → ∅ ∈ 𝐴)
191 oewordi 8195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((suc (𝐺𝑦) ∈ On ∧ (𝐺‘suc 𝑦) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (suc (𝐺𝑦) ⊆ (𝐺‘suc 𝑦) → (𝐴o suc (𝐺𝑦)) ⊆ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦))))
192189, 153, 137, 190, 191syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (suc (𝐺𝑦) ⊆ (𝐺‘suc 𝑦) → (𝐴o suc (𝐺𝑦)) ⊆ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦))))
193184, 192mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐴o suc (𝐺𝑦)) ⊆ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)))
194 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))
195193, 194sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)))
196 peano2 7580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
197196ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → suc 𝑦 ∈ ω)
1988cantnfvalf 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻:ω⟶On
199198ffvelrni 6826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ On)
200197, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ On)
201 omcl 8139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ∈ On)
202155, 149, 201syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ∈ On)
203 oaord 8151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐻‘suc 𝑦) ∈ On ∧ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On ∧ ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) ∈ On) → ((𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ↔ (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐻‘suc 𝑦)) ∈ (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)))))
204200, 155, 202, 203syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → ((𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ↔ (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐻‘suc 𝑦)) ∈ (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)))))
205195, 204mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐻‘suc 𝑦)) ∈ (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦))))
20644, 1, 45, 19, 43, 8cantnfsuc 9111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐻‘suc 𝑦)))
207196, 206sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐻‘suc 𝑦)))
208207adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐻‘suc suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐻‘suc 𝑦)))
209 omsuc 8129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) = (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦))))
210155, 149, 209syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) = (((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))) +o (𝐴o (𝐺‘suc 𝑦))))
211205, 208, 2103eltr4d 2926 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ ((𝐴o (𝐺‘suc 𝑦)) ·o suc (𝐹‘(𝐺‘suc 𝑦))))
212161, 211sseldd 3947 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)))) → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))
213212exp32 423 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → ((𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦)) → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))))
214213a2d 29 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦))) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))))
215136, 214syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦))) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦)))))
216215expcom 416 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑦))) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc suc 𝑦) ∈ (𝐴o suc (𝐺‘suc 𝑦))))))
21780, 89, 98, 131, 216finds2 7588 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥)))))
21870, 71, 58, 217syl3c 66 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐻‘suc 𝑥) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥)))
21969, 218eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐻𝐾) ∈ (𝐴o suc (𝐺𝑥)))
22068, 219sseldd 3947 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐾 = suc 𝑥)) → (𝐻𝐾) ∈ (𝐴o 𝐶))
221220rexlimdvaa 3272 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ω 𝐾 = suc 𝑥 → (𝐻𝐾) ∈ (𝐴o 𝐶)))
222 peano2 7580 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → suc dom 𝐺 ∈ ω)
223170, 222simpl2im 506 . . . 4 (𝜑 → suc dom 𝐺 ∈ ω)
224 elnn 7568 . . . 4 ((𝐾 ∈ suc dom 𝐺 ∧ suc dom 𝐺 ∈ ω) → 𝐾 ∈ ω)
22523, 223, 224syl2anc 586 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ω)
226 nn0suc 7584 . . 3 (𝐾 ∈ ω → (𝐾 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐾 = suc 𝑥))
227225, 226syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐾 = suc 𝑥))
22813, 221, 227mpjaod 856 1 (𝜑 → (𝐻𝐾) ∈ (𝐴o 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3126  Vcvv 3473   ⊆ wss 3913  ∅c0 4269   class class class wbr 5042  Tr wtr 5148   E cep 5440   We wwe 5489  dom cdm 5531   “ cima 5534  Ord word 6166  Oncon0 6167  suc csuc 6169   Fn wfn 6326  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331   Isom wiso 6332  (class class class)co 7133   ∈ cmpo 7135  ωcom 7558   supp csupp 7808  seqωcseqom 8061   +o coa 8077   ·o comu 8078   ↑o coe 8079   finSupp cfsupp 8811  OrdIsocoi 8951   CNF ccnf 9102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-seqom 8062  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-oexp 8086  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-oi 8952  df-cnf 9103 This theorem is referenced by:  cantnflt2  9114  cnfcomlem  9140
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