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Theorem noetainflem4 27785
Description: Lemma for noeta 27788. If 𝐴 precedes 𝐵, then 𝑊 is greater than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetainflem.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
Assertion
Ref Expression
noetainflem4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝐴,𝑎   𝑎,𝑏,𝑔,𝑥,𝐵   𝑣,𝑏,𝑥,𝑦   𝑇,𝑏,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem noetainflem4
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 777 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 No )
2 simplrr 778 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → 𝐴 No )
43sselda 3983 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 No )
5 noetainflem.1 . . . . . 6 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
65noinfbnd2 27776 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 No ) → (∀𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
71, 2, 4, 6syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → (∀𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
8 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝐴 No )
9 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎𝐴)
108, 9sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎 No )
11 nodmord 27698 . . . . . . . . . 10 (𝑎 No → Ord dom 𝑎)
12 ordirr 6402 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑎 → ¬ dom 𝑎 ∈ dom 𝑎)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ¬ dom 𝑎 ∈ dom 𝑎)
14 bdayval 27693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 No → ( bday 𝑎) = dom 𝑎)
1510, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ( bday 𝑎) = dom 𝑎)
16 bdayfo 27722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bday : No onto→On
17 fofn 6822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday : No onto→On → bday Fn No )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 bday Fn No
19 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday Fn No 𝐴 No 𝑎𝐴) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴))
2018, 8, 9, 19mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴))
2115, 20eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ∈ ( bday 𝐴))
22 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑎 ∈ ( bday 𝐴) → dom 𝑎 ( bday 𝐴))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ( bday 𝐴))
24 nodmon 27695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 No → dom 𝑎 ∈ On)
25 imassrn 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday 𝐴) ⊆ ran bday
26 forn 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → ran bday = On)
2716, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran bday = On
2825, 27sseqtri 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday 𝐴) ⊆ On
29 ssorduni 7799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday 𝐴) ⊆ On → Ord ( bday 𝐴))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ( bday 𝐴)
31 ordsssuc 6473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑎 ∈ On ∧ Ord ( bday 𝐴)) → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
3230, 31mpan2 691 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑎 ∈ On → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
3310, 24, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
3423, 33mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴))
35 elun2 4183 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴) → dom 𝑎 ∈ (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ∈ (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
37 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)) → (dom 𝑎 ∈ dom 𝑎 ↔ dom 𝑎 ∈ (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))))
3836, 37syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → (dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)) → dom 𝑎 ∈ dom 𝑎))
3913, 38mtod 198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ¬ dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
40 dmeq 5914 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑊 → dom 𝑎 = dom 𝑊)
41 noetainflem.2 . . . . . . . . . . 11 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
4241dmeqi 5915 . . . . . . . . . 10 dom 𝑊 = dom (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
43 dmun 5921 . . . . . . . . . 10 dom (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∪ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
44 2oex 8517 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ V
4544snnz 4776 . . . . . . . . . . . . 13 {2o} ≠ ∅
46 dmxp 5939 . . . . . . . . . . . . 13 ({2o} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)
4847uneq2i 4165 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑇 ∪ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∪ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
49 undif2 4477 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑇 ∪ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))
5048, 49eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑇 ∪ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))
5142, 43, 503eqtri 2769 . . . . . . . . 9 dom 𝑊 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))
5240, 51eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑊 → dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
5339, 52nsyl 140 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑊)
5453neqned 2947 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎𝑊)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇)
5610adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎 No )
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑎 No )
58 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝐴 ∈ V)
59 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝐵 No )
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝐵 No )
61 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝐵 ∈ V)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝐵 ∈ V)
635, 41noetainflem1 27782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑊 No )
6458, 60, 62, 63syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑊 No )
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑊 No )
66 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑎𝑊)
67 nosepne 27725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 No 𝑊 No 𝑎𝑊) → (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
6857, 65, 66, 67syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
6955fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
70 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝐵 No 𝐵 ∈ V))
715, 41noetainflem2 27783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7372fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7469, 73eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7568, 74neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7675necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
77 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → (𝑇𝑞) = (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
78 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → (𝑎𝑞) = (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7977, 78neeq12d 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → ((𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞) ↔ (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})))
8079rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞))
8155, 76, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞))
82 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑞) ≠ ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ ¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
83 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ dom 𝑇 → ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) = (𝑎𝑞))
8483neeq2d 3001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ dom 𝑇 → ((𝑇𝑞) ≠ ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ (𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞)))
8582, 84bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ dom 𝑇 → (¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ (𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞)))
8685rexbiia 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ dom 𝑇 ¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞))
87 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ dom 𝑇 ¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
8886, 87bitr3i 277 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
8981, 88sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
9089olcd 875 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)))
915noinfno 27763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
9291ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑇 No )
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑇 No )
94 nofun 27694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 No → Fun 𝑇)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → Fun 𝑇)
96 nofun 27694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 No → Fun 𝑎)
97 funres 6608 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑎 → Fun (𝑎 ↾ dom 𝑇))
9857, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → Fun (𝑎 ↾ dom 𝑇))
99 eqfunfv 7056 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑇 ∧ Fun (𝑎 ↾ dom 𝑇)) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))))
10095, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))))
101 ianor 984 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)) ↔ (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)))
102101con1bii 356 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)) ↔ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)))
103100, 102bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))))
104103con2bid 354 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)) ↔ ¬ 𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
10590, 104mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ¬ 𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇))
106105pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
10772breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s (𝑊 ↾ dom 𝑇) ↔ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇))
108 nodmon 27695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 No → dom 𝑇 ∈ On)
10992, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → dom 𝑇 ∈ On)
110109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → dom 𝑇 ∈ On)
111 sltres 27707 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 No 𝑊 No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s (𝑊 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
11257, 65, 110, 111syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s (𝑊 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
113107, 112sylbird 260 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇𝑎 <s 𝑊))
114 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))
116 noreson 27705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
11756, 109, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
118117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
119 sltso 27721 . . . . . . . . . . . 12 <s Or No
120 sotric 5622 . . . . . . . . . . . 12 (( <s Or No ∧ (𝑇 No ∧ (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )) → (𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)))
121119, 120mpan 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 No ∧ (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No ) → (𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)))
12293, 118, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)))
123122con2bid 354 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇) ↔ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
124115, 123mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇))
125106, 113, 124mpjaod 861 . . . . . . 7 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊)
12664adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑊 No )
12756adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎 No )
128 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎𝑊)
129128necomd 2996 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑊𝑎)
13041fveq1i 6907 . . . . . . . . 9 (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})
13192adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑇 No )
132131, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → Fun 𝑇)
133132funfnd 6597 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑇 Fn dom 𝑇)
134 fnconstg 6796 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ V → ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) Fn (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
13544, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) Fn (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) Fn (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
137 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = ∅
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = ∅)
139 nosepssdm 27731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 No 𝑊 No 𝑎𝑊) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎)
140127, 126, 128, 139syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎)
141127, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ( bday 𝑎) = dom 𝑎)
142 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝐴 No )
143 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎𝐴)
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎𝐴)
14518, 142, 144, 19mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴))
146 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴) → ( bday 𝑎) ⊆ ( bday 𝐴))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ( bday 𝑎) ⊆ ( bday 𝐴))
148141, 147eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → dom 𝑎 ( bday 𝐴))
149127, 24, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
150148, 149mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎𝑊)
152 nosepon 27710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 No 𝑊 No 𝑎𝑊) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On)
15356, 64, 151, 152syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On)
155 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . 14 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})
156 ordsuc 7833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord ( bday 𝐴) ↔ Ord suc ( bday 𝐴))
15730, 156mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ord suc ( bday 𝐴)
158 ordtr2 6428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∧ Ord suc ( bday 𝐴)) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎 ∧ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴)))
159157, 158mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎 ∧ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴)))
160154, 155, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎 ∧ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴)))
161140, 150, 160mp2and 699 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴))
162 ontri1 6418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑇 ∈ On ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On) → (dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇))
163109, 153, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → (dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇))
164163biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇)
165161, 164eldifd 3962 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
166133, 136, 138, 165fvun2d 7003 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
16744fvconst2 7224 . . . . . . . . . . 11 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) → (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
168165, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
169166, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
170130, 169eqtrid 2789 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
171 nosep2o 27727 . . . . . . . 8 (((𝑊 No 𝑎 No 𝑊𝑎) ∧ (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o) → 𝑎 <s 𝑊)
172126, 127, 129, 170, 171syl31anc 1375 . . . . . . 7 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎 <s 𝑊)
173153, 155syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})
174 nodmord 27698 . . . . . . . . 9 (𝑇 No → Ord dom 𝑇)
17592, 174syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → Ord dom 𝑇)
176 ordtri2or 6482 . . . . . . . 8 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∧ Ord dom 𝑇) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇 ∨ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
177173, 175, 176syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇 ∨ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
178125, 172, 177mpjaodan 961 . . . . . 6 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎 <s 𝑊)
17954, 178mpdan 687 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎 <s 𝑊)
180179expr 456 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → (¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
1817, 180sylbid 240 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → (∀𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏𝑎 <s 𝑊))
182181ralimdva 3167 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑊))
1831823impia 1118 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   cuni 4907   cint 4946   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cio 6512  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ontowfo 6559  cfv 6561  crio 7387  1oc1o 8499  2oc2o 8500   No csur 27684   <s cslt 27685   bday cbday 27686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689
This theorem is referenced by:  noetalem1  27786
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