MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetainflem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetainflem4 27799
Description: Lemma for noeta 27802. If 𝐴 precedes 𝐵, then 𝑊 is greater than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetainflem.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
Assertion
Ref Expression
noetainflem4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝐴,𝑎   𝑎,𝑏,𝑔,𝑥,𝐵   𝑣,𝑏,𝑥,𝑦   𝑇,𝑏,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem noetainflem4
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 777 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 No )
2 simplrr 778 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → 𝐴 No )
43sselda 3994 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 No )
5 noetainflem.1 . . . . . 6 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
65noinfbnd2 27790 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 No ) → (∀𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
71, 2, 4, 6syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → (∀𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
8 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝐴 No )
9 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎𝐴)
108, 9sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎 No )
11 nodmord 27712 . . . . . . . . . 10 (𝑎 No → Ord dom 𝑎)
12 ordirr 6403 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑎 → ¬ dom 𝑎 ∈ dom 𝑎)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ¬ dom 𝑎 ∈ dom 𝑎)
14 bdayval 27707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 No → ( bday 𝑎) = dom 𝑎)
1510, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ( bday 𝑎) = dom 𝑎)
16 bdayfo 27736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bday : No onto→On
17 fofn 6822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday : No onto→On → bday Fn No )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 bday Fn No
19 fnfvima 7252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday Fn No 𝐴 No 𝑎𝐴) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴))
2018, 8, 9, 19mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴))
2115, 20eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ∈ ( bday 𝐴))
22 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑎 ∈ ( bday 𝐴) → dom 𝑎 ( bday 𝐴))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ( bday 𝐴))
24 nodmon 27709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 No → dom 𝑎 ∈ On)
25 imassrn 6090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday 𝐴) ⊆ ran bday
26 forn 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → ran bday = On)
2716, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran bday = On
2825, 27sseqtri 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday 𝐴) ⊆ On
29 ssorduni 7797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday 𝐴) ⊆ On → Ord ( bday 𝐴))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ( bday 𝐴)
31 ordsssuc 6474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑎 ∈ On ∧ Ord ( bday 𝐴)) → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
3230, 31mpan2 691 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑎 ∈ On → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
3310, 24, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
3423, 33mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴))
35 elun2 4192 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴) → dom 𝑎 ∈ (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → dom 𝑎 ∈ (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
37 eleq2 2827 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)) → (dom 𝑎 ∈ dom 𝑎 ↔ dom 𝑎 ∈ (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))))
3836, 37syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → (dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)) → dom 𝑎 ∈ dom 𝑎))
3913, 38mtod 198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ¬ dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
40 dmeq 5916 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑊 → dom 𝑎 = dom 𝑊)
41 noetainflem.2 . . . . . . . . . . 11 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
4241dmeqi 5917 . . . . . . . . . 10 dom 𝑊 = dom (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
43 dmun 5923 . . . . . . . . . 10 dom (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∪ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
44 2oex 8515 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ V
4544snnz 4780 . . . . . . . . . . . . 13 {2o} ≠ ∅
46 dmxp 5941 . . . . . . . . . . . . 13 ({2o} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)
4847uneq2i 4174 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑇 ∪ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∪ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
49 undif2 4482 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑇 ∪ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))
5048, 49eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑇 ∪ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))
5142, 43, 503eqtri 2766 . . . . . . . . 9 dom 𝑊 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴))
5240, 51eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑊 → dom 𝑎 = (dom 𝑇 ∪ suc ( bday 𝐴)))
5339, 52nsyl 140 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑊)
5453neqned 2944 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎𝑊)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇)
5610adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎 No )
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑎 No )
58 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝐴 ∈ V)
59 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝐵 No )
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝐵 No )
61 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝐵 ∈ V)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝐵 ∈ V)
635, 41noetainflem1 27796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑊 No )
6458, 60, 62, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑊 No )
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑊 No )
66 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑎𝑊)
67 nosepne 27739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 No 𝑊 No 𝑎𝑊) → (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
6857, 65, 66, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
6955fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
70 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝐵 No 𝐵 ∈ V))
715, 41noetainflem2 27797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
7372fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑊 ↾ dom 𝑇)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7469, 73eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7568, 74neeqtrd 3007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7675necomd 2993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
77 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → (𝑇𝑞) = (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
78 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → (𝑎𝑞) = (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
7977, 78neeq12d 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → ((𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞) ↔ (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})))
8079rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) ≠ (𝑎 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞))
8155, 76, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞))
82 df-ne 2938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑞) ≠ ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ ¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
83 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ dom 𝑇 → ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) = (𝑎𝑞))
8483neeq2d 2998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ dom 𝑇 → ((𝑇𝑞) ≠ ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ (𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞)))
8582, 84bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ dom 𝑇 → (¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ (𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞)))
8685rexbiia 3089 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ dom 𝑇 ¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞))
87 rexnal 3097 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ dom 𝑇 ¬ (𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
8886, 87bitr3i 277 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) ≠ (𝑎𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
8981, 88sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))
9089olcd 874 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)))
915noinfno 27777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
9291ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑇 No )
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑇 No )
94 nofun 27708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 No → Fun 𝑇)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → Fun 𝑇)
96 nofun 27708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 No → Fun 𝑎)
97 funres 6609 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑎 → Fun (𝑎 ↾ dom 𝑇))
9857, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → Fun (𝑎 ↾ dom 𝑇))
99 eqfunfv 7055 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑇 ∧ Fun (𝑎 ↾ dom 𝑇)) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))))
10095, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))))
101 ianor 983 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)) ↔ (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)))
102101con1bii 356 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)) ↔ (dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∧ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)))
103100, 102bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞))))
104103con2bid 354 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((¬ dom 𝑇 = dom (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom 𝑇(𝑇𝑞) = ((𝑎 ↾ dom 𝑇)‘𝑞)) ↔ ¬ 𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
10590, 104mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ¬ 𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇))
106105pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
10772breq2d 5159 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s (𝑊 ↾ dom 𝑇) ↔ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇))
108 nodmon 27709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 No → dom 𝑇 ∈ On)
10992, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → dom 𝑇 ∈ On)
110109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → dom 𝑇 ∈ On)
111 sltres 27721 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 No 𝑊 No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s (𝑊 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
11257, 65, 110, 111syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s (𝑊 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
113107, 112sylbird 260 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇𝑎 <s 𝑊))
114 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))
116 noreson 27719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
11756, 109, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
118117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
119 sltso 27735 . . . . . . . . . . . 12 <s Or No
120 sotric 5625 . . . . . . . . . . . 12 (( <s Or No ∧ (𝑇 No ∧ (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No )) → (𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)))
121119, 120mpan 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 No ∧ (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∈ No ) → (𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)))
12293, 118, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) ↔ ¬ (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)))
123122con2bid 354 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → ((𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇) ↔ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇)))
124115, 123mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → (𝑇 = (𝑎 ↾ dom 𝑇) ∨ (𝑎 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇))
125106, 113, 124mpjaod 860 . . . . . . 7 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊)
12664adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑊 No )
12756adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎 No )
128 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎𝑊)
129128necomd 2993 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑊𝑎)
13041fveq1i 6907 . . . . . . . . 9 (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})
13192adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑇 No )
132131, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → Fun 𝑇)
133132funfnd 6598 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑇 Fn dom 𝑇)
134 fnconstg 6796 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ V → ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) Fn (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
13544, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) Fn (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) Fn (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
137 disjdif 4477 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = ∅
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = ∅)
139 nosepssdm 27745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 No 𝑊 No 𝑎𝑊) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎)
140127, 126, 128, 139syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎)
141127, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ( bday 𝑎) = dom 𝑎)
142 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝐴 No )
143 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎𝐴)
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎𝐴)
14518, 142, 144, 19mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴))
146 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday 𝑎) ∈ ( bday 𝐴) → ( bday 𝑎) ⊆ ( bday 𝐴))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ( bday 𝑎) ⊆ ( bday 𝐴))
148141, 147eqsstrrd 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → dom 𝑎 ( bday 𝐴))
149127, 24, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (dom 𝑎 ( bday 𝐴) ↔ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)))
150148, 149mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎𝑊)
152 nosepon 27724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 No 𝑊 No 𝑎𝑊) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On)
15356, 64, 151, 152syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On)
155 eloni 6395 . . . . . . . . . . . . . 14 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})
156 ordsuc 7832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord ( bday 𝐴) ↔ Ord suc ( bday 𝐴))
15730, 156mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ord suc ( bday 𝐴)
158 ordtr2 6429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∧ Ord suc ( bday 𝐴)) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎 ∧ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴)))
159157, 158mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎 ∧ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴)))
160154, 155, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ⊆ dom 𝑎 ∧ dom 𝑎 ∈ suc ( bday 𝐴)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴)))
161140, 150, 160mp2and 699 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐴))
162 ontri1 6419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑇 ∈ On ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ On) → (dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇))
163109, 153, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → (dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇))
164163biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇)
165161, 164eldifd 3973 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
166133, 136, 138, 165fvun2d 7002 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
16744fvconst2 7223 . . . . . . . . . . 11 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) → (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
168165, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
169166, 168eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
170130, 169eqtrid 2786 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o)
171 nosep2o 27741 . . . . . . . 8 (((𝑊 No 𝑎 No 𝑊𝑎) ∧ (𝑊 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) = 2o) → 𝑎 <s 𝑊)
172126, 127, 129, 170, 171syl31anc 1372 . . . . . . 7 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) ∧ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}) → 𝑎 <s 𝑊)
173153, 155syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)})
174 nodmord 27712 . . . . . . . . 9 (𝑇 No → Ord dom 𝑇)
17592, 174syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → Ord dom 𝑇)
176 ordtri2or 6483 . . . . . . . 8 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∧ Ord dom 𝑇) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇 ∨ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
177173, 175, 176syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)} ∈ dom 𝑇 ∨ dom 𝑇 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑎𝑝) ≠ (𝑊𝑝)}))
178125, 172, 177mpjaodan 960 . . . . . 6 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) ∧ 𝑎𝑊) → 𝑎 <s 𝑊)
17954, 178mpdan 687 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇))) → 𝑎 <s 𝑊)
180179expr 456 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → (¬ 𝑇 <s (𝑎 ↾ dom 𝑇) → 𝑎 <s 𝑊))
1817, 180sylbid 240 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑎𝐴) → (∀𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏𝑎 <s 𝑊))
182181ralimdva 3164 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑊))
1831823impia 1116 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630  cop 4636   cuni 4911   cint 4950   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5595   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387  cio 6513  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  ontowfo 6560  cfv 6562  crio 7386  1oc1o 8497  2oc2o 8498   No csur 27698   <s cslt 27699   bday cbday 27700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703
This theorem is referenced by:  noetalem1  27800
  Copyright terms: Public domain W3C validator