Theorem ordsucsssuc 7842

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 7841	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
2	1	notbid 318	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4		ordtri1 6418	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ordsuc 7832	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
6		ordsuc 7832	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
7		ordtri1 6418	. . 3 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord suc 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	3, 4, 8	3bitr4d 311	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  Ord word 6384  suc csuc 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391

This theorem is referenced by:  oawordri  8586  oeworde  8629  nnawordi  8657  eldifsucnn  8700  ttrcltr  9753  bndrank  9878  rankmapu  9915  ackbij1b  10275  pw2bday  28432  onsuct0  36423  finxpsuclem  37379  onsucwordi  43277  naddgeoa  43383