Theorem ordsucsssuc 7778

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 7777	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
2	1	notbid 318	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4		ordtri1 6353	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ordsuc 7768	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
6		ordsuc 7768	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
7		ordtri1 6353	. . 3 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord suc 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	3, 4, 8	3bitr4d 311	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  Ord word 6319  suc csuc 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326

This theorem is referenced by:  oawordri  8491  oeworde  8534  nnawordi  8562  eldifsucnn  8605  ttrcltr  9645  bndrank  9770  rankmapu  9807  ackbij1b  10167  onsuct0  36422  finxpsuclem  37378  onsucwordi  43270  naddgeoa  43376