Theorem ordsucsssuc 7303

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 7302	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
2	1	notbid 310	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3	2	adantr 474	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4		ordtri1 6011	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ordsuc 7294	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
6		ordsuc 7294	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
7		ordtri1 6011	. . 3 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord suc 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2anb 591	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	3, 4, 8	3bitr4d 303	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  Ord word 5977  suc csuc 5980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-ord 5981  df-on 5982  df-suc 5984

This theorem is referenced by:  oawordri  7916  oeworde  7959  nnawordi  7987  bndrank  9003  rankmapu  9040  ackbij1b  9398  nosupbday  32448  onsuct0  33031  finxpsuclem  33836