Theorem ordtri2or 6414

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 6347	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	biimprd 248	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	3	orrd 863	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  Ord word 6313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-ord 6317

This theorem is referenced by:  ordtri2or2  6415  ordunisuc2  7783  oaass  8485  alephdom  9983  iscard3  9995  noetasuplem4  27695  noetainflem4  27699  sltonold  28218  cantnfresb  43481  omabs2  43489  tfsconcat0b  43503  oaun3lem1  43531