Theorem ordtri2or 6459

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 6392	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	biimprd 251	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	3	orrd 876	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  Ord word 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6361

This theorem is referenced by:  ordtri2or2  6460  ordunisuc2  7836  oaass  8542  alephdom  10061  iscard3  10073  noetasuplem4  27862  noetainflem4  27866  ltonold  28416  cantnfresb  43938  omabs2  43946  tfsconcat0b  43960  oaun3lem1  43988