Theorem ordtri2or 6401

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 6334	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	biimprd 248	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	3	orrd 863	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  Ord word 6300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-ord 6304

This theorem is referenced by:  ordtri2or2  6402  ordunisuc2  7769  oaass  8471  alephdom  9967  iscard3  9979  noetasuplem4  27670  noetainflem4  27674  sltonold  28193  cantnfresb  43357  omabs2  43365  tfsconcat0b  43379  oaun3lem1  43407