MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephdom 10078
Description: Relationship between inclusion of ordinal numbers and dominance of infinite initial ordinals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
alephdom ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephdom
StepHypRef Expression
1 onsseleq 6399 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
2 alephord 10072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3 sdomdom 8978 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
42, 3biimtrdi 252 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
5 fvex 6898 . . . . . . 7 (ℵ‘𝐴) ∈ V
6 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
7 eqeng 8984 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
85, 6, 7mpsyl 68 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
10 endom 8977 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
119, 10syl6 35 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
124, 11jaod 856 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
131, 12sylbid 239 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
14 eloni 6368 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 eloni 6368 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
16 ordtri2or 6456 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
1714, 15, 16syl2anr 596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
1817ord 861 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
1918con1d 145 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
20 alephord 10072 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
2120ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
22 sdomnen 8979 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
23 sdomdom 8978 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴))
24 sbth 9095 . . . . . . 7 (((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
2524ex 412 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
2722, 26mtod 197 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2821, 27biimtrdi 252 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2919, 28syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
3013, 29impcon4bid 226 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943   class class class wbr 5141  Ord word 6357  Oncon0 6358  cfv 6537  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  cale 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-oi 9507  df-har 9554  df-card 9936  df-aleph 9937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator