MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephdom 10118
Description: Relationship between inclusion of ordinal numbers and dominance of infinite initial ordinals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
alephdom ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephdom
StepHypRef Expression
1 onsseleq 6426 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
2 alephord 10112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3 sdomdom 9018 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
42, 3biimtrdi 253 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
5 fvex 6919 . . . . . . 7 (ℵ‘𝐴) ∈ V
6 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
7 eqeng 9024 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
85, 6, 7mpsyl 68 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
10 endom 9017 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
119, 10syl6 35 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
124, 11jaod 859 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
131, 12sylbid 240 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
14 eloni 6395 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 eloni 6395 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
16 ordtri2or 6483 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
1714, 15, 16syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
1817ord 864 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
1918con1d 145 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
20 alephord 10112 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
2120ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
22 sdomnen 9019 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
23 sdomdom 9018 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴))
24 sbth 9131 . . . . . . 7 (((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
2524ex 412 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
2722, 26mtod 198 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2821, 27biimtrdi 253 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2919, 28syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
3013, 29impcon4bid 227 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  Ord word 6384  Oncon0 6385  cfv 6562  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  cale 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-oi 9547  df-har 9594  df-card 9976  df-aleph 9977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator