Theorem alephdom 9224

Description: Relationship between inclusion of ordinal numbers and dominance of infinite initial ordinals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
alephdom	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsseleq 6008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2		alephord 9218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3		sdomdom 8256	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
4	2, 3	syl6bi 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
5		fvex 6450	. . . . . . 7 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
6		fveq2 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
7		eqeng 8262	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
8	5, 6, 7	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
10		endom 8255	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
11	9, 10	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
12	4, 11	jaod 890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	1, 12	sylbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
14		eloni 5977	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15		eloni 5977	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
16		ordtri2or 6062	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 ⊆ 𝐵))
17	14, 15, 16	syl2anr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 ⊆ 𝐵))
18	17	ord 895	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
19	18	con1d 142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐴))
20		alephord 9218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
21	20	ancoms 452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
22		sdomnen 8257	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
23		sdomdom 8256	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴))
24		sbth 8355	. . . . . . 7 ⊢ (((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
25	24	ex 403	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
27	22, 26	mtod 190	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
28	21, 27	syl6bi 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
29	19, 28	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
30	13, 29	impcon4bid 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875  Ord word 5966  Oncon0 5967  ‘cfv 6127   ≈ cen 8225   ≼ cdom 8226   ≺ csdm 8227  ℵcale 9082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-oi 8691  df-har 8739  df-card 9085  df-aleph 9086

This theorem is referenced by: (None)