Theorem alephdom 10095

Description: Relationship between inclusion of ordinal numbers and dominance of infinite initial ordinals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
alephdom	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsseleq 6393	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2		alephord 10089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3		sdomdom 8994	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
4	2, 3	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
5		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
6		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
7		eqeng 9000	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
8	5, 6, 7	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
10		endom 8993	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
11	9, 10	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
12	4, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
13	1, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
14		eloni 6362	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15		eloni 6362	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
16		ordtri2or 6452	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 ⊆ 𝐵))
17	14, 15, 16	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 ⊆ 𝐵))
18	17	ord 864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
19	18	con1d 145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐴))
20		alephord 10089	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
21	20	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
22		sdomnen 8995	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
23		sdomdom 8994	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → (ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴))
24		sbth 9107	. . . . . . 7 ⊢ (((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≼ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≈ (ℵ‘𝐴)))
27	22, 26	mtod 198	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
28	21, 27	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
29	19, 28	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
30	13, 29	impcon4bid 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  Ord word 6351  Oncon0 6352  ‘cfv 6531   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957   ≺ csdm 8958  ℵcale 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-oi 9524  df-har 9571  df-card 9953  df-aleph 9954

This theorem is referenced by: (None)