MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltonold Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sltonold 27927
Description: The class of ordinals less than any surreal is a subset of that surreal's old set. (Contributed by Scott Fenton, 22-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
sltonold (ðī ∈ No → {ð‘Ĩ ∈ Ons âˆĢ ð‘Ĩ <s ðī} ⊆ ( O ‘( bday ‘ðī)))
Distinct variable group:   ð‘Ĩ,ðī
Proof of Theorem sltonold
Dummy variable ð‘Ĩ𝑂 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdayelon 27515 . . . . . . 7 ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ On
21onordi 6475 . . . . . 6 Ord ( bday ‘ð‘Ĩ)
3 bdayelon 27515 . . . . . . 7 ( bday ‘ðī) ∈ On
43onordi 6475 . . . . . 6 Ord ( bday ‘ðī)
5 ordtri2or 6462 . . . . . 6 ((Ord ( bday ‘ð‘Ĩ) ∧ Ord ( bday ‘ðī)) → (( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘ðī) âˆĻ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ)))
62, 4, 5mp2an 689 . . . . 5 (( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘ðī) âˆĻ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
76a1i 11 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ð‘Ĩ <s ðī) → (( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘ðī) âˆĻ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ)))
8 madeun 27616 . . . . . . . . . 10 ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) = (( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ∊ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ)))
98eleq2i 2824 . . . . . . . . 9 (ðī ∈ ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ðī ∈ (( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ∊ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ))))
10 elun 4148 . . . . . . . . 9 (ðī ∈ (( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ∊ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ))) ↔ (ðī ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) âˆĻ ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ))))
119, 10bitri 275 . . . . . . . 8 (ðī ∈ ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ (ðī ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) âˆĻ ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ))))
12 lrold 27629 . . . . . . . . . . 11 (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) = ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ))
1312eleq2i 2824 . . . . . . . . . 10 (ðī ∈ (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) ↔ ðī ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)))
14 elons 27920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ð‘Ĩ ∈ Ons ↔ (ð‘Ĩ ∈ No ∧ ( R ‘ð‘Ĩ) = ∅))
1514simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ð‘Ĩ ∈ Ons → ( R ‘ð‘Ĩ) = ∅)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → ( R ‘ð‘Ĩ) = ∅)
1716uneq2d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) = (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ∅))
18 un0 4390 . . . . . . . . . . . . 13 (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ∅) = ( L ‘ð‘Ĩ)
1917, 18eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) = ( L ‘ð‘Ĩ))
2019eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) ↔ ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ)))
21 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ)) → ðī ∈ No )
22 onsno 27922 . . . . . . . . . . . . . 14 (ð‘Ĩ ∈ Ons → ð‘Ĩ ∈ No )
2322ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ)) → ð‘Ĩ ∈ No )
24 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ð‘Ĩ𝑂 = ðī → (ð‘Ĩ𝑂 <s ð‘Ĩ ↔ ðī <s ð‘Ĩ))
25 leftval 27596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( L ‘ð‘Ĩ) = {ð‘Ĩ𝑂 ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) âˆĢ ð‘Ĩ𝑂 <s ð‘Ĩ}
2624, 25elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ) ↔ (ðī ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ∧ ðī <s ð‘Ĩ))
2726simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ) → ðī <s ð‘Ĩ)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ)) → ðī <s ð‘Ĩ)
2921, 23, 28sltled 27509 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ)) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ)
3029ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ ( L ‘ð‘Ĩ) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
3120, 30sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
3213, 31biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
33 newbday 27634 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ On ∧ ðī ∈ No ) → (ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)))
341, 33mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (ðī ∈ No → (ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)))
3534adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)))
36 leftssold 27611 . . . . . . . . . . . . 13 ( L ‘ðī) ⊆ ( O ‘( bday ‘ðī))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ) → ( O ‘( bday ‘ðī)) = ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → ( O ‘( bday ‘ðī)) = ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)))
3915uneq2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ð‘Ĩ ∈ Ons → (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ( R ‘ð‘Ĩ)) = (( L ‘ð‘Ĩ) ∊ ∅))
4039, 12, 183eqtr3g 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ð‘Ĩ ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) = ( L ‘ð‘Ĩ))
4140ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) = ( L ‘ð‘Ĩ))
4238, 41eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → ( L ‘ð‘Ĩ) = ( O ‘( bday ‘ðī)))
4336, 42sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → ( L ‘ðī) ⊆ ( L ‘ð‘Ĩ))
44 slelss 27640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ No ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → (ðī â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ( L ‘ðī) ⊆ ( L ‘ð‘Ĩ)))
4522, 44syl3an2 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → (ðī â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ( L ‘ðī) ⊆ ( L ‘ð‘Ĩ)))
46453expa 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → (ðī â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ( L ‘ðī) ⊆ ( L ‘ð‘Ĩ)))
4743, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) ∧ ( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ)) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ)
4847ex 412 . . . . . . . . . 10 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (( bday ‘ðī) = ( bday ‘ð‘Ĩ) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
4935, 48sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
5032, 49jaod 856 . . . . . . . 8 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → ((ðī ∈ ( O ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) âˆĻ ðī ∈ ( N ‘( bday ‘ð‘Ĩ))) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
5111, 50biimtrid 241 . . . . . . 7 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) → ðī â‰Īs ð‘Ĩ))
52 madebday 27632 . . . . . . . . 9 ((( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ On ∧ ðī ∈ No ) → (ðī ∈ ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ)))
531, 52mpan 687 . . . . . . . 8 (ðī ∈ No → (ðī ∈ ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ)))
5453adantr 480 . . . . . . 7 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī ∈ ( M ‘( bday ‘ð‘Ĩ)) ↔ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ)))
55 slenlt 27492 . . . . . . . 8 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ No ) → (ðī â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ÂŽ ð‘Ĩ <s ðī))
5622, 55sylan2 592 . . . . . . 7 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ðī â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ÂŽ ð‘Ĩ <s ðī))
5751, 54, 563imtr3d 293 . . . . . 6 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ) → ÂŽ ð‘Ĩ <s ðī))
5857con2d 134 . . . . 5 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons) → (ð‘Ĩ <s ðī → ÂŽ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ)))
59583impia 1116 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ð‘Ĩ <s ðī) → ÂŽ ( bday ‘ðī) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
607, 59olcnd 874 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ð‘Ĩ <s ðī) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘ðī))
61223ad2ant2 1133 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ð‘Ĩ <s ðī) → ð‘Ĩ ∈ No )
62 oldbday 27633 . . . 4 ((( bday ‘ðī) ∈ On ∧ ð‘Ĩ ∈ No ) → (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘ðī)) ↔ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘ðī)))
633, 61, 62sylancr 586 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ð‘Ĩ <s ðī) → (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘ðī)) ↔ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘ðī)))
6460, 63mpbird 257 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ð‘Ĩ ∈ Ons ∧ ð‘Ĩ <s ðī) → ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘ðī)))
6564rabssdv 4072 1 (ðī ∈ No → {ð‘Ĩ ∈ Ons âˆĢ ð‘Ĩ <s ðī} ⊆ ( O ‘( bday ‘ðī)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   âˆĻ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∊ cun 3946   ⊆ wss 3948  âˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  Ord word 6363  Oncon0 6364  â€˜cfv 6543   No csur 27380   <s cslt 27381   bday cbday 27382   â‰Īs csle 27484   M cmade 27575   O cold 27576   N cnew 27577   L cleft 27578   R cright 27579  Onscons 27918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-2o 8471  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sle 27485  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-made 27580  df-old 27581  df-new 27582  df-left 27583  df-right 27584  df-ons 27919
This theorem is referenced by:  sltonex  27928
  Copyright terms: Public domain W3C validator