MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri2or2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri2or2 6485
Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2or2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2
StepHypRef Expression
1 ordtri2or 6484 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 ordelss 6402 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
32ex 412 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43orim1d 967 . . 3 (Ord 𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
54adantl 481 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
61, 5mpd 15 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  wcel 2106  wss 3963  Ord word 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389
This theorem is referenced by:  ordtri2or3  6486  ordssun  6488  ordequn  6489  onunel  6491  onun2  6494  ordunpr  7846  omun  7910  ackbij2  10280  sornom  10315  fin23lem23  10364  isf32lem2  10392  fpwwe2lem9  10677  noextendseq  27727  noetalem1  27801  hfun  36160  onsucunipr  43362
  Copyright terms: Public domain W3C validator