MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri2or2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri2or2 6284
Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2or2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2
StepHypRef Expression
1 ordtri2or 6283 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 ordelss 6204 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
32ex 413 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43orim1d 961 . . 3 (Ord 𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
54adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
61, 5mpd 15 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843  wcel 2106  wss 3939  Ord word 6187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-tr 5169  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-ord 6191
This theorem is referenced by:  ordtri2or3  6285  ordssun  6287  ordequn  6288  ordunpr  7532  ackbij2  9657  sornom  9691  fin23lem23  9740  isf32lem2  9768  fpwwe2lem10  10053  noextendseq  33059  hfun  33524
  Copyright terms: Public domain W3C validator