Theorem ordtri2or2 6412

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or 6411	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordelss 6327	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	orim1d 967	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  Ord word 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6314

This theorem is referenced by:  ordtri2or3  6413  ordssun  6415  ordequn  6416  onunel  6418  onun2  6421  ordunpr  7762  omun  7824  ackbij2  10140  sornom  10175  fin23lem23  10224  isf32lem2  10252  fpwwe2lem9  10537  noextendseq  27607  noetalem1  27681  hfun  36243  onsucunipr  43490