Theorem ordtri2or2 6435

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or 6434	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordelss 6350	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	orim1d 967	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  Ord word 6333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6337

This theorem is referenced by:  ordtri2or3  6436  ordssun  6438  ordequn  6439  onunel  6441  onun2  6444  ordunpr  7803  omun  7866  ackbij2  10201  sornom  10236  fin23lem23  10285  isf32lem2  10313  fpwwe2lem9  10598  noextendseq  27585  noetalem1  27659  hfun  36161  onsucunipr  43354