Theorem ordtri2or2 6424

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or 6423	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordelss 6339	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	orim1d 968	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  Ord word 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326

This theorem is referenced by:  ordtri2or3  6425  ordssun  6427  ordequn  6428  onunel  6430  onun2  6433  ordunpr  7777  omun  7839  ackbij2  10164  sornom  10199  fin23lem23  10248  isf32lem2  10276  fpwwe2lem9  10562  noextendseq  27631  noetalem1  27705  hfun  36360  onsucunipr  43800