Theorem ordtri2or2 6412

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or 6411	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordelss 6327	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	orim1d 967	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  Ord word 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314

This theorem is referenced by:  ordtri2or3  6413  ordssun  6415  ordequn  6416  onunel  6418  onun2  6421  ordunpr  7765  omun  7828  ackbij2  10155  sornom  10190  fin23lem23  10239  isf32lem2  10267  fpwwe2lem9  10552  noextendseq  27595  noetalem1  27669  hfun  36151  onsucunipr  43345