Theorem ordtri2or2 6464

Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or 6463	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordelss 6378	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	ex 418	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	orim1d 981	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  Ord word 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365

This theorem is used by:  ordtri2or3  6465  ordssun  6467  ordequn  6468  onunel  6470  onun2  6473  ordunpr  7837  omun  7899  hfunOLD  9922  ackbij2  10323  sornom  10358  fin23lem23  10407  isf32lem2  10435  fpwwe2lem9  10727  noextendseq  28029  noetalem1  28103  ordunmax  35765  onsucunipr  44467