Theorem oaass 8170

Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaass	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))

Proof of Theorem oaass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ((𝐴 +o 𝐵) +o ∅))
2		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐵 +o 𝑥) = (𝐵 +o ∅))
3	2	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = (𝐴 +o (𝐵 +o ∅)))
4	1, 3	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) +o ∅) = (𝐴 +o (𝐵 +o ∅))))
5		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
6		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 +o 𝑥) = (𝐵 +o 𝑦))
7	6	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
8	5, 7	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
9		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦))
10		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐵 +o 𝑥) = (𝐵 +o suc 𝑦))
11	10	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)))
12	9, 11	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦))))
13		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
14		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 +o 𝑥) = (𝐵 +o 𝐶))
15	14	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
16	13, 15	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶))))
17		oacl 8143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
18		oa0 8124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ On → ((𝐴 +o 𝐵) +o ∅) = (𝐴 +o 𝐵))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o ∅) = (𝐴 +o 𝐵))
20		oa0 8124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 +o ∅) = 𝐵)
21	20	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 +o (𝐵 +o ∅)) = (𝐴 +o 𝐵))
22	21	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o (𝐵 +o ∅)) = (𝐴 +o 𝐵))
23	19, 22	eqtr4d 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o ∅) = (𝐴 +o (𝐵 +o ∅)))
24		suceq 6224	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → suc ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = suc (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
25		oasuc 8132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +o 𝐵) ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦) = suc ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
26	17, 25	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦) = suc ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
27		oasuc 8132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝐵 +o suc 𝑦) = suc (𝐵 +o 𝑦))
28	27	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)) = (𝐴 +o suc (𝐵 +o 𝑦)))
29	28	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On)) → (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)) = (𝐴 +o suc (𝐵 +o 𝑦)))
30		oacl 8143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝐵 +o 𝑦) ∈ On)
31		oasuc 8132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) ∈ On) → (𝐴 +o suc (𝐵 +o 𝑦)) = suc (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
32	30, 31	sylan2 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On)) → (𝐴 +o suc (𝐵 +o 𝑦)) = suc (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
33	29, 32	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On)) → (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)) = suc (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
34	33	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)) = suc (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
35	26, 34	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) → (((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)) ↔ suc ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = suc (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
36	24, 35	syl5ibr 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) → (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦))))
37	36	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝐵) +o suc 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o suc 𝑦)))))
38		iuneq2 4900	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
39	38	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
40		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
41		oalim 8140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 +o 𝐵) ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
42	40, 41	mpanr1 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 +o 𝐵) ∈ On ∧ Lim 𝑥) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
43	17, 42	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ Lim 𝑥) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
44	43	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
45	44	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦))
46		oalimcl 8169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → Lim (𝐵 +o 𝑥))
47	40, 46	mpanr1 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ Lim 𝑥) → Lim (𝐵 +o 𝑥))
48	47	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On) → Lim (𝐵 +o 𝑥))
49		ovex 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +o 𝑥) ∈ V
50		oalim 8140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ((𝐵 +o 𝑥) ∈ V ∧ Lim (𝐵 +o 𝑥))) → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧))
51	49, 50	mpanr1 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim (𝐵 +o 𝑥)) → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧))
52	48, 51	sylan2 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧))
53		limelon 6222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
54	40, 53	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
55		oacl 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐵 +o 𝑥) ∈ On)
56	55	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 +o 𝑥) ∈ On)
57		onelon 6184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 +o 𝑥) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → 𝑧 ∈ On)
58	57	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 +o 𝑥) ∈ On → (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) → 𝑧 ∈ On))
59	56, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) → 𝑧 ∈ On))
60	59	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → 𝑧 ∈ On))
61	60	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → 𝑧 ∈ On))
62		0ellim 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (Lim 𝑥 → ∅ ∈ 𝑥)
63		onelss 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ⊆ 𝐵))
64	20	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑧 ⊆ (𝐵 +o ∅) ↔ 𝑧 ⊆ 𝐵))
65	63, 64	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ⊆ (𝐵 +o ∅)))
66	65	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ⊆ (𝐵 +o ∅))
67		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐵 +o 𝑦) = (𝐵 +o ∅))
68	67	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝐵 +o ∅)))
69	68	rspcev 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∅ ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ⊆ (𝐵 +o ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))
70	62, 66, 69	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))
71	70	expr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
72	71	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
73	72	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On))) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
74		oawordex 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ On (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧))
75	74	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On)) → (𝐵 ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ On (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧))
76		oaord 8156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝐵 +o 𝑦) ∈ (𝐵 +o 𝑥)))
77	76	3expb 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝐵 +o 𝑦) ∈ (𝐵 +o 𝑥)))
78		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐵 +o 𝑦) = 𝑧 → ((𝐵 +o 𝑦) ∈ (𝐵 +o 𝑥) ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)))
79	77, 78	sylan9bb 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)))
80	79	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)))
81	80	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑦 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑥)
82		eqimss2 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐵 +o 𝑦) = 𝑧 → 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))
83	82	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑦 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))
84	81, 83	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑦 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
85	84	anasss 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) ∧ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥))) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
86	85	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))))
87	86	reximdv2 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → (∃𝑦 ∈ On (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
88	87	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On (𝐵 +o 𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
89	75, 88	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On)) → (𝐵 ⊆ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
90	89	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On))) → (𝐵 ⊆ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))
91		eloni 6169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
92		eloni 6169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
93		ordtri2or 6254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝑧))
94	91, 92, 93	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝑧))
95	94	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On)) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝑧))
96	95	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On))) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝑧))
97	73, 90, 96	mpjaod 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ On))) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))
98	97	exp45 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) → (𝑧 ∈ On → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦)))))
99	98	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) → (𝑧 ∈ On → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))))
100	99	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → (𝑧 ∈ On → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))))
101	100	imp32 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦))
102		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ On)
103		onelon 6184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
104	103, 30	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝐵 +o 𝑦) ∈ On)
105	104	exp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 +o 𝑦) ∈ On)))
106	105	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐵 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 +o 𝑦) ∈ On)))
107	106	imp31 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐵 +o 𝑦) ∈ On)
108	107	ad4ant24 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐵 +o 𝑦) ∈ On)
109		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
110	109	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ On)
111		oaword 8158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ (𝐵 +o 𝑦) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦) ↔ (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
112	102, 108, 110, 111	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦) ↔ (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
113	112	rexbidva 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝐵 +o 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
114	101, 113	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
115	114	exp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → (𝑧 ∈ On → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))))
116	61, 115	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
117	116	exp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑥 ∈ On → (𝐵 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))))
118	54, 117	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝐵 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))))
119	118	exp4a 435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ On → (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))))
120	119	imp31 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
121	120	ralrimiv 3148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → ∀𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
122		iunss2 4936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o 𝑧) ⊆ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
124	123	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On)) → ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
125		oaordi 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐵 +o 𝑦) ∈ (𝐵 +o 𝑥)))
126	125	anim1d 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → ((𝐵 +o 𝑦) ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))))
127		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝐵 +o 𝑦) → (𝐴 +o 𝑧) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
128	127	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝐵 +o 𝑦) → (𝑤 ∈ (𝐴 +o 𝑧) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))))
129	128	rspcev 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 +o 𝑦) ∈ (𝐵 +o 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)𝑤 ∈ (𝐴 +o 𝑧))
130	126, 129	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)𝑤 ∈ (𝐴 +o 𝑧)))
131	130	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)𝑤 ∈ (𝐴 +o 𝑧))))
132	131	rexlimdv 3242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)𝑤 ∈ (𝐴 +o 𝑧)))
133		eliun 4885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑤 ∈ (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
134		eliun 4885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)𝑤 ∈ (𝐴 +o 𝑧))
135	132, 133, 134	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → 𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧)))
136	135	ssrdv 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧))
137	54, 136	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧))
138	137	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧))
139	124, 138	eqssd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On)) → ∪ 𝑧 ∈ (𝐵 +o 𝑥)(𝐴 +o 𝑧) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
140	52, 139	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
141	140	an12s 648	. . . . . . 7 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
142	141	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)))
143	39, 45, 142	3eqtr4d 2843	. . . . 5 ⊢ (((Lim 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦))) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)))
144	143	exp31 423	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑦) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝑥) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝑥)))))
145	4, 8, 12, 16, 23, 37, 144	tfinds3 7559	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶))))
146	145	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ On → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶))))
147	146	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ ciun 4881  Ord word 6158  Oncon0 6159  Lim wlim 6160  suc csuc 6161  (class class class)co 7135   +_o coa 8082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089

This theorem is referenced by:  odi  8188  oaabs  8254  oaabs2  8255