Theorem iscard3 10003

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
iscard3	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Proof of Theorem iscard3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9856	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		eloni 6327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ordom 7818	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
7		ordtri2or 6417	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
9	8	ord 864	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → ω ⊆ 𝐴))
10		isinfcard 10002	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ran ℵ)
11	10	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ran ℵ)
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ ran ℵ))
13	9, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ran ℵ))
14	13	orrd 863	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
15		cardnn 9875	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
16	10	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ ↔ (ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴))
17	16	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ → (card‘𝐴) = 𝐴)
18	15, 17	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ) → (card‘𝐴) = 𝐴)
19	14, 18	impbii 209	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
20		elun 4105	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
21	19, 20	bitr4i 278	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ran crn 5625  Ord word 6316  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  ωcom 7808  cardccrd 9847  ℵcale 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-har 9462  df-card 9851  df-aleph 9852

This theorem is referenced by:  cardnum  10004  carduniima  10006  cardinfima  10007  cfpwsdom  10495  gch2  10586