Theorem iscard3 10097

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
iscard3	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Proof of Theorem iscard3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9950	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		eloni 6367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ordom 7873	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
7		ordtri2or 6458	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
9	8	ord 878	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → ω ⊆ 𝐴))
10		isinfcard 10096	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ran ℵ)
11	10	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ran ℵ)
12	11	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ ran ℵ))
13	9, 12	syld 48	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ran ℵ))
14	13	orrd 877	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
15		cardnn 9969	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
16	10	bicomi 227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ ↔ (ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴))
17	16	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ → (card‘𝐴) = 𝐴)
18	15, 17	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ) → (card‘𝐴) = 𝐴)
19	14, 18	impbii 212	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
20		elun 4100	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
21	19, 20	bitr4i 281	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  Ord word 6356  Oncon0 6357  ‘cfv 6533  ωcom 7863  cardccrd 9941  ℵcale 9942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9483  df-har 9530  df-card 9945  df-aleph 9946

This theorem is used by:  cardnum  10098  carduniima  10100  cardinfima  10101  cfpwsdom  10594  gch2  10685