Theorem iscard3 10009

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
iscard3	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Proof of Theorem iscard3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9862	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		eloni 6328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ordom 7821	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
7		ordtri2or 6418	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
9	8	ord 865	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → ω ⊆ 𝐴))
10		isinfcard 10008	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ran ℵ)
11	10	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ran ℵ)
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ ran ℵ))
13	9, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ran ℵ))
14	13	orrd 864	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
15		cardnn 9881	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
16	10	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ ↔ (ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴))
17	16	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ → (card‘𝐴) = 𝐴)
18	15, 17	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ) → (card‘𝐴) = 𝐴)
19	14, 18	impbii 209	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
20		elun 4094	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
21	19, 20	bitr4i 278	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ran crn 5626  Ord word 6317  Oncon0 6318  ‘cfv 6493  ωcom 7811  cardccrd 9853  ℵcale 9854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-har 9466  df-card 9857  df-aleph 9858

This theorem is referenced by:  cardnum  10010  carduniima  10012  cardinfima  10013  cfpwsdom  10501  gch2  10592