Theorem iscard3 9236

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
iscard3	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Proof of Theorem iscard3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9090	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 225	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		eloni 5977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → Ord 𝐴)
6		ordom 7340	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
7		ordtri2or 6062	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
9	8	ord 895	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → ω ⊆ 𝐴))
10		isinfcard 9235	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ran ℵ)
11	10	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ran ℵ)
12	11	expcom 404	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ ran ℵ))
13	9, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ran ℵ))
14	13	orrd 894	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
15		cardnn 9109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
16	10	bicomi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ ↔ (ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴))
17	16	simprbi 492	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ℵ → (card‘𝐴) = 𝐴)
18	15, 17	jaoi 888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ) → (card‘𝐴) = 𝐴)
19	14, 18	impbii 201	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
20		elun 3982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
21	19, 20	bitr4i 270	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3796   ⊆ wss 3798  ran crn 5347  Ord word 5966  Oncon0 5967  ‘cfv 6127  ωcom 7331  cardccrd 9081  ℵcale 9082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-oi 8691  df-har 8739  df-card 9085  df-aleph 9086

This theorem is referenced by:  cardnum  9237  carduniima  9239  cardinfima  9240  cfpwsdom  9728  gch2  9819