MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscard3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscard3 10133
Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
iscard3 ((card‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))

Proof of Theorem iscard3
StepHypRef Expression
1 cardon 9984 . . . . . . . . 9 (card‘𝐴) ∈ On
2 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
31, 2mpbii 233 . . . . . . . 8 ((card‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
4 eloni 6394 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 ((card‘𝐴) = 𝐴 → Ord 𝐴)
6 ordom 7897 . . . . . . 7 Ord ω
7 ordtri2or 6482 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . 6 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
98ord 865 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → ω ⊆ 𝐴))
10 isinfcard 10132 . . . . . . 7 ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ran ℵ)
1110biimpi 216 . . . . . 6 ((ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ran ℵ)
1211expcom 413 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴𝐴 ∈ ran ℵ))
139, 12syld 47 . . . 4 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ran ℵ))
1413orrd 864 . . 3 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
15 cardnn 10003 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
1610bicomi 224 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran ℵ ↔ (ω ⊆ 𝐴 ∧ (card‘𝐴) = 𝐴))
1716simprbi 496 . . . 4 (𝐴 ∈ ran ℵ → (card‘𝐴) = 𝐴)
1815, 17jaoi 858 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ) → (card‘𝐴) = 𝐴)
1914, 18impbii 209 . 2 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
20 elun 4153 . 2 (𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ) ↔ (𝐴 ∈ ω ∨ 𝐴 ∈ ran ℵ))
2119, 20bitr4i 278 1 ((card‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ (ω ∪ ran ℵ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  wss 3951  ran crn 5686  Ord word 6383  Oncon0 6384  cfv 6561  ωcom 7887  cardccrd 9975  cale 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-card 9979  df-aleph 9980
This theorem is referenced by:  cardnum  10134  carduniima  10136  cardinfima  10137  cfpwsdom  10624  gch2  10715
  Copyright terms: Public domain W3C validator