Theorem ordunel 7845

Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordunel	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordunel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssi 4779	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
2	1	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
3		ordelon 6392	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
5		ordelon 6392	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
6		ordunpr 7844	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
7	4, 5, 6	3imp3i2an 1364	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
8	2, 7	sseldd 3913	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899   ∪ cun 4151  {cpr 4589  Ord word 6367  Oncon0 6368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-ord 6371  df-on 6372

This theorem is used by:  oaabs2  8669  dffi3  9433  unwf  9828  rankelun  9899  infxpenlem  10102  cfsmolem  10358  r1limwun  10831  wunex2  10833