Theorem ordunel 7767

Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordunel	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordunel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssi 4752	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
2	1	3adant1 1136	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
3		ordelon 6334	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
4	3	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
5		ordelon 6334	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
6		ordunpr 7766	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
7	4, 5, 6	3imp3i2an 1352	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
8	2, 7	sseldd 3916	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {cpr 4557  Ord word 6309  Oncon0 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314

This theorem is referenced by:  oaabs2  8575  dffi3  9334  unwf  9725  rankelun  9787  infxpenlem  9926  cfsmolem  10183  r1limwun  10650  wunex2  10652