MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordunel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordunel 7767
Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordunel ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordunel
StepHypRef Expression
1 prssi 4786 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
213adant1 1131 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
3 ordelon 6346 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
433adant3 1133 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
5 ordelon 6346 . . 3 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ On)
6 ordunpr 7766 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
74, 5, 63imp3i2an 1346 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
82, 7sseldd 3950 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wcel 2107  cun 3913  wss 3915  {cpr 4593  Ord word 6321  Oncon0 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326
This theorem is referenced by:  oaabs2  8600  dffi3  9374  unwf  9753  rankelun  9815  infxpenlem  9956  cfsmolem  10213  r1limwun  10679  wunex2  10681
  Copyright terms: Public domain W3C validator