MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordunel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordunel 7847
Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordunel ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordunel
StepHypRef Expression
1 prssi 4826 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
213adant1 1129 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
3 ordelon 6410 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
433adant3 1131 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
5 ordelon 6410 . . 3 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ On)
6 ordunpr 7846 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
74, 5, 63imp3i2an 1344 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
82, 7sseldd 3996 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wcel 2106  cun 3961  wss 3963  {cpr 4633  Ord word 6385  Oncon0 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390
This theorem is referenced by:  oaabs2  8686  dffi3  9469  unwf  9848  rankelun  9910  infxpenlem  10051  cfsmolem  10308  r1limwun  10774  wunex2  10776
  Copyright terms: Public domain W3C validator