Theorem ordunel 7779

Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordunel	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordunel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssi 4779	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
2	1	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐴)
3		ordelon 6349	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
5		ordelon 6349	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
6		ordunpr 7778	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
7	4, 5, 6	3imp3i2an 1347	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
8	2, 7	sseldd 3936	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {cpr 4584  Ord word 6324  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  oaabs2  8587  dffi3  9346  unwf  9734  rankelun  9796  infxpenlem  9935  cfsmolem  10192  r1limwun  10659  wunex2  10661