Theorem ottpos 8183

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottpos	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Proof of Theorem ottpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos 8182	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
2		df-br 5080	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹)
3		df-br 5080	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
4	1, 2, 3	3bitr3g 314	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))
5		df-ot 4571	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ = ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩
6	5	eleq1i 2831	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹)
7		df-ot 4571	. . 3 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ = ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩
8	7	eleq1i 2831	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
9	4, 6, 8	3bitr4g 315	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568  ⟨cotp 4570   class class class wbr 5079  tpos ctpos 8172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500  df-tpos 8173

This theorem is referenced by: (None)