Theorem ottpos 8161

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottpos	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Proof of Theorem ottpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos 8160	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
2		df-br 5087	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹)
3		df-br 5087	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
4	1, 2, 3	3bitr3g 313	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))
5		df-ot 4580	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ = ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩
6	5	eleq1i 2822	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹)
7		df-ot 4580	. . 3 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ = ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩
8	7	eleq1i 2822	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
9	4, 6, 8	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4577  ⟨cotp 4579   class class class wbr 5086  tpos ctpos 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-fv 6484  df-tpos 8151

This theorem is referenced by: (None)