Theorem relbrtpos 8268

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
relbrtpos	⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Proof of Theorem relbrtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 8262	. . . 4 ⊢ Rel tpos 𝐹
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → Rel tpos 𝐹)
3		brrelex2 5709	. . 3 ⊢ ((Rel tpos 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	sylan 592	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
5		brrelex2 5709	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		brtpos 8266	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
7	4, 5, 6	pm5.21nd 814	1 ⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  Rel wrel 5660  tpos ctpos 8256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-fv 6555  df-tpos 8257

This theorem is used by: (None)