Theorem relbrtpos 8177

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
relbrtpos	⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Proof of Theorem relbrtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 8171	. . . 4 ⊢ Rel tpos 𝐹
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → Rel tpos 𝐹)
3		brrelex2 5676	. . 3 ⊢ ((Rel tpos 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
5		brrelex2 5676	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		brtpos 8175	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
7	4, 5, 6	pm5.21nd 801	1 ⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  Rel wrel 5627  tpos ctpos 8165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-fv 6498  df-tpos 8166

This theorem is referenced by: (None)