Theorem relbrtpos 8189

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
relbrtpos	⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Proof of Theorem relbrtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 8183	. . . 4 ⊢ Rel tpos 𝐹
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → Rel tpos 𝐹)
3		brrelex2 5686	. . 3 ⊢ ((Rel tpos 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	sylan 581	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
5		brrelex2 5686	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		brtpos 8187	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
7	4, 5, 6	pm5.21nd 802	1 ⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  Rel wrel 5637  tpos ctpos 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-fv 6508  df-tpos 8178

This theorem is referenced by: (None)