Theorem relbrtpos 8280

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
relbrtpos	⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Proof of Theorem relbrtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 8274	. . . 4 ⊢ Rel tpos 𝐹
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → Rel tpos 𝐹)
3		brrelex2 5754	. . 3 ⊢ ((Rel tpos 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	sylan 579	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
5		brrelex2 5754	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		brtpos 8278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
7	4, 5, 6	pm5.21nd 801	1 ⊢ (Rel 𝐹 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  Rel wrel 5705  tpos ctpos 8268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-fv 6583  df-tpos 8269

This theorem is referenced by: (None)