Theorem petincnvepres 39275

Description: The shortest form of a partition-equivalence theorem with intersection and general 𝑅. Cf. br1cossincnvepres 38852. Cf. pet 39277. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petincnvepres	⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petincnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petincnvepres2 39274	. 2 ⊢ (( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
2		dfpart2 39184	. 2 ⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
3		dferALTV2 39065	. 2 ⊢ ( ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∩ cin 3889   E cep 5521  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   / cqs 8633   ≀ ccoss 38495   EqvRel weqvrel 38512   ErALTV werALTV 38521   Disj wdisjALTV 38531   Part wpart 38536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8636  df-qs 8640  df-coss 38813  df-refrel 38904  df-cnvrefrel 38919  df-symrel 38936  df-trrel 38970  df-eqvrel 38981  df-dmqs 39035  df-erALTV 39061  df-funALTV 39079  df-disjALTV 39102  df-eldisj 39104  df-part 39181

This theorem is referenced by: (None)