Theorem petincnvepres 38872

Description: The shortest form of a partition-equivalence theorem with intersection and general 𝑅. Cf. br1cossincnvepres 38473. Cf. pet 38874. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petincnvepres	⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petincnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petincnvepres2 38871	. 2 ⊢ (( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
2		dfpart2 38792	. 2 ⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
3		dferALTV2 38691	. 2 ⊢ ( ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∩ cin 3930   E cep 5557  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   / cqs 8723   ≀ ccoss 38204   EqvRel weqvrel 38221   ErALTV werALTV 38230   Disj wdisjALTV 38238   Part wpart 38243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-eprel 5558  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8726  df-qs 8730  df-coss 38434  df-refrel 38535  df-cnvrefrel 38550  df-symrel 38567  df-trrel 38597  df-eqvrel 38608  df-dmqs 38662  df-erALTV 38687  df-funALTV 38705  df-disjALTV 38728  df-eldisj 38730  df-part 38789

This theorem is referenced by: (None)