Theorem petincnvepres 40087

Description: The shortest form of a partition-equivalence theorem with intersection and general 𝑅. Cf. br1cossincnvepres 39664. Cf. pet 40089. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petincnvepres	⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petincnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petincnvepres2 40086	. 2 ⊢ (( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
2		dfpart2 39996	. 2 ⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
3		dferALTV2 39877	. 2 ⊢ ( ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 306	1 ⊢ ((𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∩ cin 4092   E cep 5554  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   / cqs 8744   ≀ ccoss 39307   EqvRel weqvrel 39324   ErALTV werALTV 39333   Disj wdisjALTV 39343   Part wpart 39348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8747  df-qs 8751  df-coss 39625  df-refrel 39716  df-cnvrefrel 39731  df-symrel 39748  df-trrel 39782  df-eqvrel 39793  df-dmqs 39847  df-erALTV 39873  df-funALTV 39891  df-disjALTV 39914  df-eldisj 39916  df-part 39993

This theorem is used by: (None)