Theorem mainerim 39302

Description: Every equivalence relation implies equivalent coelements. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mainerim	⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)

Proof of Theorem mainerim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mainer2 39301	. 2 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38543   ErALTV werALTV 38550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-eprel 5526  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ec 8640  df-qs 8644  df-coss 38842  df-coels 38843  df-refrel 38933  df-cnvrefrel 38948  df-symrel 38965  df-trrel 38999  df-eqvrel 39010  df-coeleqvrel 39012  df-dmqs 39064  df-erALTV 39090  df-comember 39092  df-funALTV 39108  df-disjALTV 39131  df-eldisj 39133  df-part 39210  df-membpart 39212

This theorem is referenced by: (None)