Theorem mainerim 39341

Description: Every equivalence relation implies equivalent coelements. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mainerim	⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)

Proof of Theorem mainerim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mainer2 39340	. 2 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
2	1	simpld 496	1 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2121  ∅c0 4263   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38582   ErALTV werALTV 38589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ec 8639  df-qs 8643  df-coss 38881  df-coels 38882  df-refrel 38972  df-cnvrefrel 38987  df-symrel 39004  df-trrel 39038  df-eqvrel 39049  df-coeleqvrel 39051  df-dmqs 39103  df-erALTV 39129  df-comember 39131  df-funALTV 39147  df-disjALTV 39170  df-eldisj 39172  df-part 39249  df-membpart 39251

This theorem is referenced by: (None)