Theorem llnnlt 40325

Description: Two lattice lines cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
llnnlt.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnnlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem llnnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llnnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18395	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
3	2	3adant3 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4		breq2 5112	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋 ↔ 𝑋 < 𝑌))
5	4	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
6	3, 5	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18393	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9		llnnlt.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
10	7, 9	llncmp 40324	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	8, 10	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 = 𝑌))
12	11	necon3ad 2970	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
13	6, 12	pm2.61dne 3043	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  lecple 17323  ltcplt 18370  HLchlt 40152  LLinesclln 40293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-lat 18494  df-clat 18561  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300

This theorem is used by:  lplnnle2at  40343