Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnlt 39233
Description: Two lattice lines cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnlt.s < = (lt‘𝐾)
llnnlt.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnnlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem llnnlt
StepHypRef Expression
1 llnnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 18353 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 5148 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 317 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2726 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 18351 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 llnnlt.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
107, 9llncmp 39232 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 2943 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3018 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5144  cfv 6544  lecple 17266  ltcplt 18326  HLchlt 39059  LLinesclln 39201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18313  df-poset 18331  df-plt 18348  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-p0 18443  df-lat 18450  df-clat 18517  df-oposet 38885  df-ol 38887  df-oml 38888  df-covers 38975  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060  df-llines 39208
This theorem is referenced by:  lplnnle2at  39251
  Copyright terms: Public domain W3C validator