Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnlt 36699
 Description: Two lattice lines cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnlt.s < = (lt‘𝐾)
llnnlt.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnnlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem llnnlt
StepHypRef Expression
1 llnnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 17551 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 5043 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 321 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 248 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2821 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 17549 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 llnnlt.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
107, 9llncmp 36698 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 242 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 3020 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3093 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  lecple 16550  ltcplt 17529  HLchlt 36526  LLinesclln 36667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36352  df-ol 36354  df-oml 36355  df-covers 36442  df-ats 36443  df-atl 36474  df-cvlat 36498  df-hlat 36527  df-llines 36674 This theorem is referenced by:  lplnnle2at  36717
 Copyright terms: Public domain W3C validator