Theorem atnlt 39937

Description: Two atoms cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atnlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnlt	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Proof of Theorem atnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18365	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
3	2	3adant3 1145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
4		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 < 𝑃 ↔ 𝑃 < 𝑄))
5	4	notbid 320	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑃 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 < 𝑄))
6	3, 5	syl5ibcom 247	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18363	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < 𝑄 → 𝑃(le‘𝐾)𝑄))
9		atnlt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 9	atcmp 39935	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
11	8, 10	sylibd 241	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < 𝑄 → 𝑃 = 𝑄))
12	11	necon3ad 2970	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
13	6, 12	pm2.61dne 3043	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  lecple 17293  ltcplt 18340  Atomscatm 39887  AtLatcal 39888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-glb 18377  df-p0 18455  df-lat 18464  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922

This theorem is referenced by:  atltcvr  40059  llnnleat  40137