Theorem atnlt 39279

Description: Two atoms cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atnlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnlt	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Proof of Theorem atnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18270	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
4		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 < 𝑃 ↔ 𝑃 < 𝑄))
5	4	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑃 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 < 𝑄))
6	3, 5	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18268	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < 𝑄 → 𝑃(le‘𝐾)𝑄))
9		atnlt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 9	atcmp 39277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
11	8, 10	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < 𝑄 → 𝑃 = 𝑄))
12	11	necon3ad 2938	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
13	6, 12	pm2.61dne 3011	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  lecple 17203  ltcplt 18245  Atomscatm 39229  AtLatcal 39230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-glb 18282  df-p0 18360  df-lat 18367  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264

This theorem is referenced by:  atltcvr  39402  llnnleat  39480