Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atnlt 35115
Description: Two atoms cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atnlt.s < = (lt‘𝐾)
atnlt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atnlt ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Proof of Theorem atnlt
StepHypRef Expression
1 atnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 17170 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
323adant3 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
4 breq2 4788 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 < 𝑃𝑃 < 𝑄))
54notbid 307 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑃 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 < 𝑄))
63, 5syl5ibcom 235 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
7 eqid 2770 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 17168 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 < 𝑄𝑃(le‘𝐾)𝑄))
9 atnlt.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 9atcmp 35113 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑄𝑃 = 𝑄))
118, 10sylibd 229 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 < 𝑄𝑃 = 𝑄))
1211necon3ad 2955 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
136, 12pm2.61dne 3028 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  lecple 16155  ltcplt 17148  Atomscatm 35065  AtLatcal 35066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-glb 17182  df-p0 17246  df-lat 17253  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100
This theorem is referenced by:  atltcvr  35236  llnnleat  35314
  Copyright terms: Public domain W3C validator