Theorem atnlt 39805

Description: Two atoms cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atnlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnlt	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Proof of Theorem atnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
3	2	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
4		breq2 5076	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 < 𝑃 ↔ 𝑃 < 𝑄))
5	4	notbid 319	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑃 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 < 𝑄))
6	3, 5	syl5ibcom 246	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
7		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18288	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < 𝑄 → 𝑃(le‘𝐾)𝑄))
9		atnlt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 9	atcmp 39803	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
11	8, 10	sylibd 240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < 𝑄 → 𝑃 = 𝑄))
12	11	necon3ad 2947	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
13	6, 12	pm2.61dne 3020	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  lecple 17218  ltcplt 18265  Atomscatm 39755  AtLatcal 39756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-glb 18302  df-p0 18380  df-lat 18389  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790

This theorem is referenced by:  atltcvr  39927  llnnleat  40005