Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atnlt 39418
Description: Two atoms cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atnlt.s < = (lt‘𝐾)
atnlt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atnlt ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)

Proof of Theorem atnlt
StepHypRef Expression
1 atnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 18245 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
323adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑃)
4 breq2 5097 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 < 𝑃𝑃 < 𝑄))
54notbid 318 . . 3 (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑃 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 < 𝑄))
63, 5syl5ibcom 245 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
7 eqid 2731 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 18243 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 < 𝑄𝑃(le‘𝐾)𝑄))
9 atnlt.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 9atcmp 39416 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑄𝑃 = 𝑄))
118, 10sylibd 239 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 < 𝑄𝑃 = 𝑄))
1211necon3ad 2941 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ 𝑃 < 𝑄))
136, 12pm2.61dne 3014 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1086   = wceq 1541  wcel 2111   class class class wbr 5093  cfv 6487  lecple 17174  ltcplt 18220  Atomscatm 39368  AtLatcal 39369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-proset 18206  df-poset 18225  df-plt 18240  df-glb 18257  df-p0 18335  df-lat 18344  df-covers 39371  df-ats 39372  df-atl 39403
This theorem is referenced by:  atltcvr  39540  llnnleat  39618
  Copyright terms: Public domain W3C validator