Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnltN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnltN 38154
Description: Two lattice volumes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnlt.s < = (lt‘𝐾)
lvolnlt.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnltN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lvolnltN
StepHypRef Expression
1 lvolnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 18238 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 5114 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 317 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2731 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 18236 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 lvolnlt.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
107, 9lvolcmp 38153 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 2952 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3027 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5110  cfv 6501  lecple 17154  ltcplt 18211  HLchlt 37885  LVolsclvol 38029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18198  df-poset 18216  df-plt 18233  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-p0 18328  df-lat 18335  df-clat 18402  df-oposet 37711  df-ol 37713  df-oml 37714  df-covers 37801  df-ats 37802  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886  df-llines 38034  df-lplanes 38035  df-lvols 38036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator