Theorem lvolnltN 40812

Description: Two lattice volumes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lvolnlt.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnltN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lvolnltN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvolnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18516	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋 ↔ 𝑋 < 𝑌))
5	4	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
6	3, 5	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18514	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9		lvolnlt.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
10	7, 9	lvolcmp 40811	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	8, 10	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 = 𝑌))
12	11	necon3ad 2968	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
13	6, 12	pm2.61dne 3041	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  lecple 17444  ltcplt 18491  HLchlt 40544  LVolsclvol 40687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-lat 18615  df-clat 18682  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-llines 40692  df-lplanes 40693  df-lvols 40694

This theorem is used by: (None)