Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnltN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnltN 35639
Description: Two lattice volumes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnlt.s < = (lt‘𝐾)
lvolnlt.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnltN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lvolnltN
StepHypRef Expression
1 lvolnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 17278 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 4847 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 310 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 237 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2799 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 17276 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 lvolnlt.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
107, 9lvolcmp 35638 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 231 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 2984 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3057 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  lecple 16274  ltcplt 17256  HLchlt 35371  LVolsclvol 35514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator