Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnltN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnltN 38187
Description: Two lattice volumes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
lvolnlt.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lvolnltN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 < π‘Œ)

Proof of Theorem lvolnltN
StepHypRef Expression
1 lvolnlt.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
21pltirr 18253 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 5129 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 < 𝑋 ↔ 𝑋 < π‘Œ))
54notbid 317 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ Β¬ 𝑋 < π‘Œ))
63, 5syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ Β¬ 𝑋 < π‘Œ))
7 eqid 2731 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
87, 1pltle 18251 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
9 lvolnlt.v . . . . 5 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
107, 9lvolcmp 38186 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
118, 10sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
1211necon3ad 2952 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ Β¬ 𝑋 < π‘Œ))
136, 12pm2.61dne 3027 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 < π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  lecple 17169  ltcplt 18226  HLchlt 37918  LVolsclvol 38062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068  df-lvols 38069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator