Theorem lvolnltN 40064

Description: Two lattice volumes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lvolnlt.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnltN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lvolnltN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvolnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18299	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
3	2	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4		breq2 5089	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋 ↔ 𝑋 < 𝑌))
5	4	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
6	3, 5	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18297	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9		lvolnlt.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
10	7, 9	lvolcmp 40063	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	8, 10	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 = 𝑌))
12	11	necon3ad 2945	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
13	6, 12	pm2.61dne 3018	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  lecple 17227  ltcplt 18274  HLchlt 39796  LVolsclvol 39939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946

This theorem is referenced by: (None)