MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltne 18379
Description: The "less than" relation is not reflexive. (df-pss 3971 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
pltne.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltne ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem pltne
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 pltne.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltval 18377 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋𝑌)))
43simplbda 499 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
54ex 412 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  lecple 17304  ltcplt 18354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-plt 18375
This theorem is referenced by:  pltirr  18380  ogrpaddlt  33094  ornglmullt  33337  orngrmullt  33338  ofldchr  33344  isarchiofld  33347  atlen0  39311  1cvratex  39475  ps-2  39480  lhpn0  40006
  Copyright terms: Public domain W3C validator