MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltne 18230
Description: The "less than" relation is not reflexive. (df-pss 3934 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
pltne.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pltne ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))

Proof of Theorem pltne
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 pltne.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
31, 2pltval 18228 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
43simplbda 501 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
54ex 414 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  lecple 17147  ltcplt 18204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-plt 18226
This theorem is referenced by:  pltirr  18231  ogrpaddlt  31967  ornglmullt  32142  orngrmullt  32143  ofldchr  32149  isarchiofld  32152  atlen0  37801  1cvratex  37965  ps-2  37970  lhpn0  38496
  Copyright terms: Public domain W3C validator