Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnnlt 39568
Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnlt.s < = (lt‘𝐾)
lplnnlt.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnnlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lplnnlt
StepHypRef Expression
1 lplnnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 18381 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 5146 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 318 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 245 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2736 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 18379 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 lplnnlt.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
107, 9lplncmp 39565 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 2952 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3027 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  lecple 17305  ltcplt 18355  HLchlt 39352  LPlanesclpl 39495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502
This theorem is referenced by:  lvolnle3at  39585
  Copyright terms: Public domain W3C validator