Theorem lplnnlt 40072

Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lplnnlt.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lplnnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 18294	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
3	2	3adant3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4		breq2 5079	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋 ↔ 𝑋 < 𝑌))
5	4	notbid 320	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
6	3, 5	syl5ibcom 247	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 18292	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9		lplnnlt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
10	7, 9	lplncmp 40069	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	8, 10	sylibd 241	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 = 𝑌))
12	11	necon3ad 2949	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
13	6, 12	pm2.61dne 3022	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  lecple 17222  ltcplt 18269  HLchlt 39857  LPlanesclpl 39999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-llines 40005  df-lplanes 40006

This theorem is referenced by:  lvolnle3at  40089