Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnnlt 35372
Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnlt.s < = (lt‘𝐾)
lplnnlt.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnnlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lplnnlt
StepHypRef Expression
1 lplnnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 17171 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 4791 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 307 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 235 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2771 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 17169 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 lplnnlt.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
107, 9lplncmp 35369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 229 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 2956 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3029 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  lecple 16156  ltcplt 17149  HLchlt 35157  LPlanesclpl 35299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-llines 35305  df-lplanes 35306
This theorem is referenced by:  lvolnle3at  35389
  Copyright terms: Public domain W3C validator