Theorem lplnnlt 36861

Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lplnnlt.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lplnnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnnlt.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
2	1	pltirr 17565	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
3	2	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4		breq2 5034	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋 ↔ 𝑋 < 𝑌))
5	4	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
6	3, 5	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 1	pltle 17563	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9		lplnnlt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
10	7, 9	lplncmp 36858	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	8, 10	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 = 𝑌))
12	11	necon3ad 3000	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
13	6, 12	pm2.61dne 3073	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  lecple 16564  ltcplt 17543  HLchlt 36646  LPlanesclpl 36788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795

This theorem is referenced by:  lvolnle3at  36878