Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnnlt 36703
Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnlt.s < = (lt‘𝐾)
lplnnlt.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnnlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lplnnlt
StepHypRef Expression
1 lplnnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 17575 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 5072 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 320 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 247 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2823 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 17573 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 lplnnlt.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
107, 9lplncmp 36700 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 241 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 3031 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3105 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5068  cfv 6357  lecple 16574  ltcplt 17553  HLchlt 36488  LPlanesclpl 36630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637
This theorem is referenced by:  lvolnle3at  36720
  Copyright terms: Public domain W3C validator