Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlle0 36546
Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 29229 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l = (le‘𝐾)
atl0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlle0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atlle0
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 atl0le.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 atl0le.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3atl0le 36545 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
54biantrud 535 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋 00 𝑋)))
6 atlpos 36542 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 488 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3atl0cl 36544 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
109adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
111, 2posasymb 17562 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
135, 12bitrd 282 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  Basecbs 16483  lecple 16572  Posetcpo 17550  0.cp0 17647  AtLatcal 36505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-proset 17538  df-poset 17556  df-glb 17585  df-p0 17649  df-lat 17656  df-atl 36539
This theorem is referenced by:  dia0  38293
  Copyright terms: Public domain W3C validator