Theorem atlle0 39769

Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 31533 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atlle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		atl0le.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		atl0le.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 39768	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	biantrud 531	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋)))
6		atlpos 39765	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	atl0cl 39767	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 18280	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	5, 12	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  lecple 17222  Posetcpo 18268  0.cp0 18382  AtLatcal 39728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-proset 18255  df-poset 18274  df-glb 18306  df-p0 18384  df-lat 18393  df-atl 39762

This theorem is referenced by:  dia0  41516