Theorem atlle0 35461

Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 28874 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atlle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		atl0le.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		atl0le.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 35460	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	biantrud 527	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋)))
6		atlpos 35457	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	atl0cl 35459	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 17338	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1439	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	5, 12	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345  Posetcpo 17326  0.cp0 17423  AtLatcal 35420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-proset 17314  df-poset 17332  df-glb 17361  df-p0 17425  df-lat 17432  df-atl 35454

This theorem is referenced by:  dia0  37208