Theorem atlle0 37319

Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 29805 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem atlle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		atl0le.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		atl0le.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	atl0le 37318	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	biantrud 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋)))
6		atlpos 37315	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	atl0cl 37317	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 18037	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	5, 12	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  0.cp0 18141  AtLatcal 37278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-proset 18013  df-poset 18031  df-glb 18065  df-p0 18143  df-lat 18150  df-atl 37312

This theorem is referenced by:  dia0  39066