Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrnbtwn2 38145
Description: The covers relation implies no in-betweenness. (cvnbtwn2 31540 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrletr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrletr.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrletr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑍 = π‘Œ))
Proof of Theorem cvrnbtwn2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrletr.s . . . . . 6 < = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrletr.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrnbtwn 38141 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ))
543expia 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ)))
6 iman 403 . . . . 5 (((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 = π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ))
7 anass 470 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑍 ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ)))
8 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
9 simpr3 1197 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
10 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 cvrletr.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1211, 2pltval 18285 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 < π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
138, 9, 10, 12syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 < π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
14 df-ne 2942 . . . . . . . . . 10 (𝑍 β‰  π‘Œ ↔ Β¬ 𝑍 = π‘Œ)
1514anbi2i 624 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ) ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ))
1613, 15bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 < π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ)))
1716anbi2d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑍 ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ))))
187, 17bitr4id 290 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ)))
1918notbid 318 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑍 = π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ)))
206, 19bitr2id 284 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 = π‘Œ)))
215, 20sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 = π‘Œ)))
22213impia 1118 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 = π‘Œ))
231, 2, 3cvrlt 38140 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
2423ex 414 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ 𝑋 < π‘Œ))
25243adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ 𝑋 < π‘Œ))
26253impia 1118 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
27 breq2 5153 . . . 4 (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ 𝑋 < π‘Œ))
2826, 27syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑋 < 𝑍))
291, 11posref 18271 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ π‘Œ)
30293ad2antr2 1190 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ≀ π‘Œ)
31 breq1 5152 . . . . 5 (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑍 ≀ π‘Œ ↔ π‘Œ ≀ π‘Œ))
3230, 31syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
33323adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3428, 33jcad 514 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ)))
3522, 34impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑍 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  ltcplt 18261   β‹– ccvr 38132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-covers 38136
This theorem is referenced by:  cvrval3  38284  cvrexchlem  38290
  Copyright terms: Public domain W3C validator