Theorem lubprlem 49244

Description: Lemma for lubprdm 49245 and lubpr 49246. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Proof of Theorem lubprlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
2		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
3		breq1 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
4		lubpr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lubpr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6	3, 4, 5	elrabd 3647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
7		breq1 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ≤ 𝑌))
8		lubpr.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		lubpr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		lubpr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	9, 10	posref 18243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
12	2, 8, 11	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑌)
13	7, 8, 12	elrabd 3647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
14	6, 13	prssd 4777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
15		lubpr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
16	9, 10, 15, 2, 8	lublecl 18284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌} ∈ dom 𝑈)
17	9, 10, 15, 2, 8	lubid 18285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
18		prid2g 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
20	17, 19	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) ∈ {𝑋, 𝑌})
21	2, 14, 15, 16, 20	lubsscl 49242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈)
23	1, 22	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
24	1	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (𝑈‘{𝑋, 𝑌}))
25	21	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}))
26	24, 25, 17	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)
27	23, 26	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398  {cpr 4581   class class class wbr 5097  dom cdm 5623  ‘cfv 6491  Basecbs 17138  lecple 17186  Posetcpo 18232  lubclub 18234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-proset 18219  df-poset 18238  df-lub 18269

This theorem is referenced by:  lubprdm  49245  lubpr  49246