Theorem lubprlem 48296

Description: Lemma for lubprdm 48297 and lubpr 48298. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Proof of Theorem lubprlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
2		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
3		breq1 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
4		lubpr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lubpr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6	3, 4, 5	elrabd 3683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
7		breq1 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ≤ 𝑌))
8		lubpr.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		lubpr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		lubpr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	9, 10	posref 18343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
12	2, 8, 11	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑌)
13	7, 8, 12	elrabd 3683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
14	6, 13	prssd 4831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
15		lubpr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
16	9, 10, 15, 2, 8	lublecl 18386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌} ∈ dom 𝑈)
17	9, 10, 15, 2, 8	lubid 18387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
18		prid2g 4770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
20	17, 19	eqeltrd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) ∈ {𝑋, 𝑌})
21	2, 14, 15, 16, 20	lubsscl 48294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})))
22	21	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈)
23	1, 22	eqeltrd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
24	1	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (𝑈‘{𝑋, 𝑌}))
25	21	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}))
26	24, 25, 17	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)
27	23, 26	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  {cpr 4635   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  lecple 17273  Posetcpo 18332  lubclub 18334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371

This theorem is referenced by:  lubprdm  48297  lubpr  48298