Theorem lubprlem 49466

Description: Lemma for lubprdm 49467 and lubpr 49468. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Proof of Theorem lubprlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
2		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
3		breq1 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
4		lubpr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lubpr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6	3, 4, 5	elrabd 3633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
7		breq1 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ≤ 𝑌))
8		lubpr.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		lubpr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		lubpr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	9, 10	posref 18279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
12	2, 8, 11	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑌)
13	7, 8, 12	elrabd 3633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
14	6, 13	prssd 4756	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
15		lubpr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
16	9, 10, 15, 2, 8	lublecl 18320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌} ∈ dom 𝑈)
17	9, 10, 15, 2, 8	lubid 18321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
18		prid2g 4696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
20	17, 19	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) ∈ {𝑋, 𝑌})
21	2, 14, 15, 16, 20	lubsscl 49464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})))
22	21	simpld 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈)
23	1, 22	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
24	1	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (𝑈‘{𝑋, 𝑌}))
25	21	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}))
26	24, 25, 17	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)
27	23, 26	jca 517	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  {cpr 4560   class class class wbr 5075  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  lecple 17222  Posetcpo 18268  lubclub 18270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305

This theorem is referenced by:  lubprdm  49467  lubpr  49468