Theorem lubprlem 49437

Description: Lemma for lubprdm 49438 and lubpr 49439. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Proof of Theorem lubprlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
2		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
3		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
4		lubpr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lubpr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6	3, 4, 5	elrabd 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
7		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ≤ 𝑌))
8		lubpr.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		lubpr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		lubpr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	9, 10	posref 18284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
12	2, 8, 11	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑌)
13	7, 8, 12	elrabd 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
14	6, 13	prssd 4765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
15		lubpr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
16	9, 10, 15, 2, 8	lublecl 18325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌} ∈ dom 𝑈)
17	9, 10, 15, 2, 8	lubid 18326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
18		prid2g 4705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
20	17, 19	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) ∈ {𝑋, 𝑌})
21	2, 14, 15, 16, 20	lubsscl 49435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈)
23	1, 22	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
24	1	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (𝑈‘{𝑋, 𝑌}))
25	21	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}))
26	24, 25, 17	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)
27	23, 26	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  {cpr 4569   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273  lubclub 18275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310

This theorem is referenced by:  lubprdm  49438  lubpr  49439