Theorem lubprlem 50070

Description: Lemma for lubprdm 50071 and lubpr 50072. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

Proof of Theorem lubprlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
2		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
3		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
4		lubpr.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lubpr.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6	3, 4, 5	elrabd 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
7		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ≤ 𝑌))
8		lubpr.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		lubpr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		lubpr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	9, 10	posref 18492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
12	2, 8, 11	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑌)
13	7, 8, 12	elrabd 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
14	6, 13	prssd 4782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})
15		lubpr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
16	9, 10, 15, 2, 8	lublecl 18533	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌} ∈ dom 𝑈)
17	9, 10, 15, 2, 8	lubid 18534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) = 𝑌)
18		prid2g 4721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
19	8, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
20	17, 19	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}) ∈ {𝑋, 𝑌})
21	2, 14, 15, 16, 20	lubsscl 50068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌})))
22	21	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom 𝑈)
23	1, 22	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
24	1	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (𝑈‘{𝑋, 𝑌}))
25	21	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑈‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ≤ 𝑌}))
26	24, 25, 17	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)
27	23, 26	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  {cpr 4585   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Posetcpo 18481  lubclub 18483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-proset 18468  df-poset 18487  df-lub 18518

This theorem is used by:  lubprdm  50071  lubpr  50072