Theorem posmidm 45883

Description: Poset meet is idempotent. latmidm 17934 could be shortened by this. (Contributed by Zhi Wang, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posmidm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posmidm	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem posmidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		posmidm.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	meetval 17851	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}))
6		posjidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	6, 7	posref 17779	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑋} = {𝑋, 𝑋})
10	3, 6, 4, 4, 7, 8, 9, 1	glbpr 45877	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}) = 𝑋)
11	5, 10	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cpr 4529  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  lecple 16756  Posetcpo 17768  glbcglb 17771  meetcmee 17773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-dec 12259  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ple 16769  df-odu 17749  df-proset 17756  df-poset 17774  df-lub 17806  df-glb 17807  df-meet 17809

This theorem is referenced by: (None)