Theorem posjidm 49082

Description: Poset join is idempotent. latjidm 18368 could be shortened by this. (Contributed by Zhi Wang, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posjidm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posjidm	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem posjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		posjidm.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	joinval 18281	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}))
6		posjidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	6, 7	posref 18224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑋} = {𝑋, 𝑋})
10	3, 6, 4, 4, 7, 8, 9, 1	lubpr 49074	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}) = 𝑋)
11	5, 10	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cpr 4575  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  lubclub 18215  joincjn 18217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-join 18252

This theorem is referenced by: (None)