Theorem posjidm 49463

Description: Poset join is idempotent. latjidm 18423 could be shortened by this. (Contributed by Zhi Wang, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posjidm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posjidm	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem posjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		posjidm.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	joinval 18336	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}))
6		posjidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	6, 7	posref 18279	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑋} = {𝑋, 𝑋})
10	3, 6, 4, 4, 7, 8, 9, 1	lubpr 49455	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}) = 𝑋)
11	5, 10	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  lecple 17222  Posetcpo 18268  lubclub 18270  joincjn 18272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-join 18307

This theorem is referenced by: (None)