Theorem posjidm 50024

Description: Poset join is idempotent. latjidm 18616 could be shortened by this. (Contributed by Zhi Wang, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posjidm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posjidm	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem posjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		posjidm.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4, 4	joinval 18529	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}))
6		posjidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	6, 7	posref 18472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑋} = {𝑋, 𝑋})
10	3, 6, 4, 4, 7, 8, 9, 1	lubpr 50016	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑋}) = 𝑋)
11	5, 10	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  lecple 17415  Posetcpo 18461  lubclub 18463  joincjn 18465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18448  df-poset 18467  df-lub 18498  df-join 18500

This theorem is used by: (None)