Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrnbtwn3 38450
Description: The covers relation implies no in-betweenness. (cvnbtwn3 31805 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrletr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrletr.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrletr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ 𝑋 = 𝑍))
Proof of Theorem cvrnbtwn3
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrletr.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrletr.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrnbtwn 38445 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ))
5 cvrletr.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
65, 2pltval 18290 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
763adant3r2 1182 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
873adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
98anbi1d 629 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ 𝑍 < π‘Œ)))
109notbid 317 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ 𝑍 < π‘Œ)))
11 an32 643 . . . . . . 7 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  𝑍))
12 df-ne 2940 . . . . . . . 8 (𝑋 β‰  𝑍 ↔ Β¬ 𝑋 = 𝑍)
1312anbi2i 622 . . . . . . 7 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑍))
1411, 13bitri 274 . . . . . 6 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑍))
1514notbii 319 . . . . 5 (Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑍))
16 iman 401 . . . . 5 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) β†’ 𝑋 = 𝑍) ↔ Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑍))
1715, 16bitr4i 277 . . . 4 (Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) β†’ 𝑋 = 𝑍))
1810, 17bitrdi 286 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (Β¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) β†’ 𝑋 = 𝑍)))
194, 18mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) β†’ 𝑋 = 𝑍))
201, 5posref 18276 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
21 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ 𝑍))
2220, 21syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
23223ad2antr1 1187 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
24233adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
25 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
26 simp21 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
27 simp22 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
28 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
291, 2, 3cvrlt 38444 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
3025, 26, 27, 28, 29syl31anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
31 breq1 5152 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ 𝑍 < π‘Œ))
3230, 31syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑍 < π‘Œ))
3324, 32jcad 512 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ)))
3419, 33impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 < π‘Œ) ↔ 𝑋 = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  ltcplt 18266   β‹– ccvr 38436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-covers 38440
This theorem is referenced by:  atcvreq0  38488  cvratlem  38596
  Copyright terms: Public domain W3C validator