Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrnbtwn4 38453
Description: The covers relation implies no in-betweenness. Part of proof of Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvnbtwn4 31806 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrle.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
Proof of Theorem cvrnbtwn4
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2731 . . . 4 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrle.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrnbtwn 38445 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
5 iman 401 . . . . 5 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
6 neanior 3034 . . . . . . . . 9 ((𝑋 β‰  𝑍 ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ))
76anbi2i 622 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑋 β‰  𝑍 ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
8 an4 653 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑋 β‰  𝑍 ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
97, 8bitr3i 276 . . . . . . 7 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
10 cvrle.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1110, 2pltval 18290 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
12113adant3r2 1182 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
1310, 2pltval 18290 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
14133com23 1125 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
15143adant3r1 1181 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
1612, 15anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ))))
179, 16bitr4id 289 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1817notbid 317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
195, 18bitr2id 283 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ))))
20193adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ))))
214, 20mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
221, 10posref 18276 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍 ≀ 𝑍)
23223ad2antr3 1189 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ≀ 𝑍)
24233adant3 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ 𝑍)
25 breq1 5152 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ 𝑍 ≀ 𝑍))
2624, 25syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
271, 10, 3cvrle 38452 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2827ex 412 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
29283adant3r3 1183 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
30293impia 1116 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
31 breq2 5153 . . . . 5 (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
3230, 31syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
3326, 32jaod 856 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
34 breq1 5152 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3530, 34syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
36 breq2 5153 . . . . 5 (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑍 ≀ 𝑍 ↔ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3724, 36syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3835, 37jaod 856 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3933, 38jcad 512 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ)))
4021, 39impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  ltcplt 18266   β‹– ccvr 38436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-covers 38440
This theorem is referenced by:  cvrcmp  38457  leatb  38466  2llnmat  38699  2lnat  38959
  Copyright terms: Public domain W3C validator