Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrnbtwn4 37787
Description: The covers relation implies no in-betweenness. Part of proof of Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvnbtwn4 31273 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrle.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))

Proof of Theorem cvrnbtwn4
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . 4 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrle.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrnbtwn 37779 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
5 iman 403 . . . . 5 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
6 neanior 3034 . . . . . . . . 9 ((𝑋 β‰  𝑍 ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ))
76anbi2i 624 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑋 β‰  𝑍 ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
8 an4 655 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑋 β‰  𝑍 ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
97, 8bitr3i 277 . . . . . . 7 (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
10 cvrle.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1110, 2pltval 18226 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
12113adant3r2 1184 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ↔ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
1310, 2pltval 18226 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
14133com23 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
15143adant3r1 1183 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ)))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍) ∧ (𝑍 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 β‰  π‘Œ))))
179, 16bitr4id 290 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1817notbid 318 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)) ↔ Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
195, 18bitr2id 284 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ))))
20193adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (Β¬ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑍(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ))))
214, 20mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
221, 10posref 18212 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍 ≀ 𝑍)
23223ad2antr3 1191 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ≀ 𝑍)
24233adant3 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ 𝑍)
25 breq1 5109 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ 𝑍 ≀ 𝑍))
2624, 25syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
271, 10, 3cvrle 37786 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2827ex 414 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
29283adant3r3 1185 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
30293impia 1118 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
31 breq2 5110 . . . . 5 (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
3230, 31syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
3326, 32jaod 858 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
34 breq1 5109 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3530, 34syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
36 breq2 5110 . . . . 5 (𝑍 = π‘Œ β†’ (𝑍 ≀ 𝑍 ↔ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3724, 36syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑍 = π‘Œ β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3835, 37jaod 858 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ π‘Œ))
3933, 38jcad 514 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ)))
4021, 39impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202   β‹– ccvr 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-covers 37774
This theorem is referenced by:  cvrcmp  37791  leatb  37800  2llnmat  38033  2lnat  38293
  Copyright terms: Public domain W3C validator