Proof of Theorem cvrnbtwn4
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cvrle.b |
. . . 4
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
2 | | eqid 2778 |
. . . 4
⊢
(lt‘𝐾) =
(lt‘𝐾) |
3 | | cvrle.c |
. . . 4
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾) |
4 | 1, 2, 3 | cvrnbtwn 35425 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌)) |
5 | | iman 392 |
. . . . 5
⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ¬ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))) |
6 | | cvrle.l |
. . . . . . . . . 10
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
7 | 6, 2 | pltval 17346 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ↔ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍))) |
8 | 7 | 3adant3r2 1191 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ↔ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍))) |
9 | 6, 2 | pltval 17346 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))) |
10 | 9 | 3com23 1117 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))) |
11 | 10 | 3adant3r1 1190 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))) |
12 | 8, 11 | anbi12d 624 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))) |
13 | | neanior 3062 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) |
14 | 13 | anbi2i 616 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))) |
15 | | an4 646 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))) |
16 | 14, 15 | bitr3i 269 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))) |
17 | 12, 16 | syl6rbbr 282 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌))) |
18 | 17 | notbid 310 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌))) |
19 | 5, 18 | syl5rbb 276 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))) |
20 | 19 | 3adant3 1123 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))) |
21 | 4, 20 | mpbid 224 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))) |
22 | 1, 6 | posref 17337 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ 𝑍) |
23 | 22 | 3ad2antr3 1198 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ 𝑍) |
24 | 23 | 3adant3 1123 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑍 ≤ 𝑍) |
25 | | breq1 4889 |
. . . . 5
⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ 𝑍 ≤ 𝑍)) |
26 | 24, 25 | syl5ibrcom 239 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → 𝑋 ≤ 𝑍)) |
27 | 1, 6, 3 | cvrle 35432 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌) |
28 | 27 | ex 403 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌)) |
29 | 28 | 3adant3r3 1192 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌)) |
30 | 29 | 3impia 1106 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌) |
31 | | breq2 4890 |
. . . . 5
⊢ (𝑍 = 𝑌 → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌)) |
32 | 30, 31 | syl5ibrcom 239 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑍 = 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑍)) |
33 | 26, 32 | jaod 848 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑍)) |
34 | | breq1 4889 |
. . . . 5
⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑍 ≤ 𝑌)) |
35 | 30, 34 | syl5ibcom 237 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ≤ 𝑌)) |
36 | | breq2 4890 |
. . . . 5
⊢ (𝑍 = 𝑌 → (𝑍 ≤ 𝑍 ↔ 𝑍 ≤ 𝑌)) |
37 | 24, 36 | syl5ibcom 237 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑍 = 𝑌 → 𝑍 ≤ 𝑌)) |
38 | 35, 37 | jaod 848 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → 𝑍 ≤ 𝑌)) |
39 | 33, 38 | jcad 508 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌))) |
40 | 21, 39 | impbid 204 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))) |