Theorem cvrnbtwn4 40316

Description: The covers relation implies no in-betweenness. Part of proof of Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvnbtwn4 32884 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrle.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnbtwn4	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))

Proof of Theorem cvrnbtwn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		cvrle.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrnbtwn 40308	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌))
5		iman 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ¬ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))
6		neanior 3049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))
7	6	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))
8		an4 669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
9	7, 8	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
10		cvrle.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	10, 2	pltval 18497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ↔ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
12	11	3adant3r2 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ↔ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
13	10, 2	pltval 18497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
14	13	3com23 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
15	14	3adant3r1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
16	12, 15	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))))
17	9, 16	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌)))
18	17	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌)))
19	5, 18	bitr2id 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))))
20	19	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))))
21	4, 20	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))
22	1, 10	posref 18485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ 𝑍)
23	22	3ad2antr3 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ 𝑍)
24	23	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑍 ≤ 𝑍)
25		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ 𝑍 ≤ 𝑍))
26	24, 25	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → 𝑋 ≤ 𝑍))
27	1, 10, 3	cvrle 40315	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
28	27	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
29	28	3adant3r3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
30	29	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
32	30, 31	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑍 = 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑍))
33	26, 32	jaod 873	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑍))
34		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑍 ≤ 𝑌))
35	30, 34	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ≤ 𝑌))
36		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → (𝑍 ≤ 𝑍 ↔ 𝑍 ≤ 𝑌))
37	24, 36	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑍 = 𝑌 → 𝑍 ≤ 𝑌))
38	35, 37	jaod 873	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → 𝑍 ≤ 𝑌))
39	33, 38	jcad 522	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌)))
40	21, 39	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  lecple 17428  Posetcpo 18474  ltcplt 18475   ⋖ ccvr 40299

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-covers 40303

This theorem is used by:  cvrcmp  40320  leatb  40329  2llnmat  40561  2lnat  40821