Theorem cvrnbtwn4 38688

Description: The covers relation implies no in-betweenness. Part of proof of Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvnbtwn4 32086 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrle.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnbtwn4	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))

Proof of Theorem cvrnbtwn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		cvrle.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrnbtwn 38680	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌))
5		iman 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ¬ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))
6		neanior 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))
7	6	anbi2i 622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))
8		an4 655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
9	7, 8	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
10		cvrle.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	10, 2	pltval 18315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ↔ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
12	11	3adant3r2 1181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ↔ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
13	10, 2	pltval 18315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
14	13	3com23 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
15	14	3adant3r1 1180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌)))
16	12, 15	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) ∧ (𝑍 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≠ 𝑌))))
17	9, 16	bitr4id 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌)))
18	17	notbid 318	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)) ↔ ¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌)))
19	5, 18	bitr2id 284	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))))
20	19	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (¬ (𝑋(lt‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑍(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌))))
21	4, 20	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))
22	1, 10	posref 18301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ 𝑍)
23	22	3ad2antr3 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ 𝑍)
24	23	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑍 ≤ 𝑍)
25		breq1 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ 𝑍 ≤ 𝑍))
26	24, 25	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → 𝑋 ≤ 𝑍))
27	1, 10, 3	cvrle 38687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
29	28	3adant3r3 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
30	29	3impia 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
31		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
32	30, 31	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑍 = 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑍))
33	26, 32	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑍))
34		breq1 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑍 ≤ 𝑌))
35	30, 34	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ≤ 𝑌))
36		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → (𝑍 ≤ 𝑍 ↔ 𝑍 ≤ 𝑌))
37	24, 36	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑍 = 𝑌 → 𝑍 ≤ 𝑌))
38	35, 37	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → 𝑍 ≤ 𝑌))
39	33, 38	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌) → (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌)))
40	21, 39	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 ∨ 𝑍 = 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  lecple 17231  Posetcpo 18290  ltcplt 18291   ⋖ ccvr 38671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-covers 38675

This theorem is referenced by:  cvrcmp  38692  leatb  38701  2llnmat  38934  2lnat  39194