MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodeq2w Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodeq2w 15862
Description: Equality theorem for product, when the class expressions ๐ต and ๐ถ are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2w (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem prodeq2w
Dummy variables ๐‘“ ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 โ„ค = โ„ค
2 ifeq1 4527 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = ๐ถ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
32alimi 1805 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ โˆ€๐‘˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
4 alral 3069 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ค if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ค if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
6 mpteq12 5233 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ค = โ„ค โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ค if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))
71, 5, 6sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))
87seqeq3d 13980 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
98breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
109anbi2d 628 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
1110exbidv 1916 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
1211rexbidv 3172 . . . . . 6 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
137seqeq3d 13980 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
1413breq1d 5151 . . . . . 6 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
1512, 143anbi23d 1435 . . . . 5 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
1615rexbidv 3172 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
17 csbeq2 3893 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
1817mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
1918seqeq3d 13980 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)))
2019fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))
2120eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š)))
2221anbi2d 628 . . . . . 6 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
2322exbidv 1916 . . . . 5 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
2423rexbidv 3172 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
2516, 24orbi12d 915 . . 3 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š)))))
2625iotabidv 6521 . 2 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š)))))
27 df-prod 15856 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
28 df-prod 15856 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
2926, 27, 283eqtr4g 2791 1 (โˆ€๐‘˜ ๐ต = ๐ถ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084  โˆ€wal 1531   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  โฆ‹csb 3888   โІ wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ„ฉcio 6487  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972   โ‡ cli 15434  โˆcprod 15855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-xp 5675  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-iota 6489  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seq 13973  df-prod 15856
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator