Theorem sdomnsym 8327

Description: Strict dominance is asymmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomnsym	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem sdomnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 8224	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
2		sdomdom 8223	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		sdomdom 8223	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
4		sbth 8322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	2, 3, 4	syl2an 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	1, 5	mtand 851	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   class class class wbr 4843   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198

This theorem is referenced by:  domnsym  8328  gchpwdom  9780