MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomnsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomnsym 9128
Description: Strict dominance is asymmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomnsym (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem sdomnsym
StepHypRef Expression
1 sdomnen 9004 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
2 sdomdom 9003 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
3 sdomdom 9003 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
4 sbth 9123 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
52, 3, 4syl2an 594 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
61, 5mtand 814 1 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   class class class wbr 5145  cen 8963  cdom 8964  csdm 8965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969
This theorem is referenced by:  domnsym  9129  gchpwdom  10704
  Copyright terms: Public domain W3C validator