Theorem sdomnsym 9034

Description: Strict dominance is asymmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomnsym	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem sdomnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 8922	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
2		sdomdom 8921	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		sdomdom 8921	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
4		sbth 9029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	2, 3, 4	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	1, 5	mtand 816	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   class class class wbr 5086   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890

This theorem is referenced by:  domnsym  9035  gchpwdom  10587