MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsym 9140
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 9023 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnsym 9139 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
3 sdomnen 9022 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
4 ensym 9044 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
53, 4nsyl3 138 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
62, 5jaoi 857 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
71, 6sylbi 217 1 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 847   class class class wbr 5142  cen 8983  cdom 8984  csdm 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989
This theorem is referenced by:  sdom0OLD  9150  sdomdomtr  9151  domsdomtr  9153  sdomdif  9166  onsdominel  9167  nndomogOLD  9264  sdom1OLD  9280  fofinf1o  9373  carddom2  10018  fidomtri  10034  fidomtri2  10035  infxpenlem  10054  alephordi  10115  infdif  10249  infdif2  10250  cfslbn  10308  cfslb2n  10309  fincssdom  10364  fin45  10433  domtriom  10484  alephval2  10613  alephreg  10623  pwcfsdom  10624  cfpwsdom  10625  pwfseqlem3  10701  gchpwdom  10711  gchaleph  10712  hargch  10714  gchhar  10720  winainflem  10734  rankcf  10818  tskcard  10822  vdwlem12  17031  odinf  19582  rectbntr0  24855  erdszelem10  35206  finminlem  36320  fimgmcyc  42549  fphpd  42832
  Copyright terms: Public domain W3C validator