MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsym 8631
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 8526 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnsym 8630 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
3 sdomnen 8525 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
4 ensym 8545 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
53, 4nsyl3 140 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
62, 5jaoi 854 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
71, 6sylbi 220 1 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 844   class class class wbr 5033  cen 8493  cdom 8494  csdm 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499
This theorem is referenced by:  sdom0  8637  sdomdomtr  8638  domsdomtr  8640  sdomdif  8653  onsdominel  8654  nndomog  8696  sdom1  8706  fofinf1o  8787  carddom2  9394  fidomtri  9410  fidomtri2  9411  infxpenlem  9428  alephordi  9489  infdif  9624  infdif2  9625  cfslbn  9682  cfslb2n  9683  fincssdom  9738  fin45  9807  domtriom  9858  alephval2  9987  alephreg  9997  pwcfsdom  9998  cfpwsdom  9999  pwfseqlem3  10075  gchpwdom  10085  gchaleph  10086  hargch  10088  gchhar  10094  winainflem  10108  rankcf  10192  tskcard  10196  vdwlem12  16322  odinf  18686  rectbntr0  23441  erdszelem10  32561  finminlem  33780  fphpd  39750
  Copyright terms: Public domain W3C validator