Theorem domnsym 9129

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9016	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnsym 9128	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3		sdomnen 9015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
4		ensym 9037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	nsyl3 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
6	2, 5	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   class class class wbr 5102   ≈ cen 8977   ≼ cdom 8978   ≺ csdm 8979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983

This theorem is used by:  sdomdomtr  9136  domsdomtr  9138  sdomdif  9151  onsdominel  9152  fofinf1o  9328  carddom2  10065  fidomtri  10081  fidomtri2  10082  infxpenlem  10099  alephordi  10160  infdif  10293  infdif2  10294  cfslbn  10352  cfslb2n  10353  fincssdom  10408  fin45  10477  domtriom  10528  alephval2  10664  alephreg  10674  pwcfsdom  10675  cfpwsdom  10676  pwfseqlem3  10752  gchpwdom  10762  gchaleph  10763  hargch  10765  gchhar  10771  winainflem  10785  rankcf  10869  tskcard  10873  vdwlem12  17179  odinf  19786  rectbntr0  25161  erdszelem10  36055  finminlem  37202  fimgmcyc  43707  fphpd  43932