MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsym 9050
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 8929 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnsym 9049 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
3 sdomnen 8928 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
4 ensym 8950 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
53, 4nsyl3 138 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
62, 5jaoi 856 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
71, 6sylbi 216 1 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 846   class class class wbr 5110  cen 8887  cdom 8888  csdm 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893
This theorem is referenced by:  sdom0OLD  9060  sdomdomtr  9061  domsdomtr  9063  sdomdif  9076  onsdominel  9077  nndomogOLD  9177  sdom1OLD  9194  fofinf1o  9278  carddom2  9920  fidomtri  9936  fidomtri2  9937  infxpenlem  9956  alephordi  10017  infdif  10152  infdif2  10153  cfslbn  10210  cfslb2n  10211  fincssdom  10266  fin45  10335  domtriom  10386  alephval2  10515  alephreg  10525  pwcfsdom  10526  cfpwsdom  10527  pwfseqlem3  10603  gchpwdom  10613  gchaleph  10614  hargch  10616  gchhar  10622  winainflem  10636  rankcf  10720  tskcard  10724  vdwlem12  16871  odinf  19352  rectbntr0  24211  erdszelem10  33834  finminlem  34819  fphpd  41168
  Copyright terms: Public domain W3C validator