Theorem domnsym 9115

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9002	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnsym 9114	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3		sdomnen 9001	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
4		ensym 9023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	nsyl3 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
6	2, 5	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   class class class wbr 5103   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969

This theorem is used by:  sdomdomtr  9122  domsdomtr  9124  sdomdif  9137  onsdominel  9138  fofinf1o  9314  carddom2  10051  fidomtri  10067  fidomtri2  10068  infxpenlem  10085  alephordi  10146  infdif  10279  infdif2  10280  cfslbn  10338  cfslb2n  10339  fincssdom  10394  fin45  10463  domtriom  10514  alephval2  10650  alephreg  10660  pwcfsdom  10661  cfpwsdom  10662  pwfseqlem3  10738  gchpwdom  10748  gchaleph  10749  hargch  10751  gchhar  10757  winainflem  10771  rankcf  10855  tskcard  10859  vdwlem12  17163  odinf  19770  rectbntr0  25145  erdszelem10  35944  finminlem  37086  fimgmcyc  43578  fphpd  43802