Theorem domnsym 9099

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8978	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnsym 9098	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3		sdomnen 8977	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
4		ensym 8999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	nsyl3 138	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
6	2, 5	jaoi 856	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 846   class class class wbr 5149   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942

This theorem is referenced by:  sdom0OLD  9109  sdomdomtr  9110  domsdomtr  9112  sdomdif  9125  onsdominel  9126  nndomogOLD  9226  sdom1OLD  9243  fofinf1o  9327  carddom2  9972  fidomtri  9988  fidomtri2  9989  infxpenlem  10008  alephordi  10069  infdif  10204  infdif2  10205  cfslbn  10262  cfslb2n  10263  fincssdom  10318  fin45  10387  domtriom  10438  alephval2  10567  alephreg  10577  pwcfsdom  10578  cfpwsdom  10579  pwfseqlem3  10655  gchpwdom  10665  gchaleph  10666  hargch  10668  gchhar  10674  winainflem  10688  rankcf  10772  tskcard  10776  vdwlem12  16925  odinf  19431  rectbntr0  24348  erdszelem10  34222  finminlem  35251  fphpd  41602