Theorem domnsym 9073

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8956	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnsym 9072	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3		sdomnen 8955	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
4		ensym 8977	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	nsyl3 138	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
6	2, 5	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   class class class wbr 5110   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924

This theorem is referenced by:  sdomdomtr  9080  domsdomtr  9082  sdomdif  9095  onsdominel  9096  sdom1OLD  9197  fofinf1o  9290  carddom2  9937  fidomtri  9953  fidomtri2  9954  infxpenlem  9973  alephordi  10034  infdif  10168  infdif2  10169  cfslbn  10227  cfslb2n  10228  fincssdom  10283  fin45  10352  domtriom  10403  alephval2  10532  alephreg  10542  pwcfsdom  10543  cfpwsdom  10544  pwfseqlem3  10620  gchpwdom  10630  gchaleph  10631  hargch  10633  gchhar  10639  winainflem  10653  rankcf  10737  tskcard  10741  vdwlem12  16970  odinf  19500  rectbntr0  24728  erdszelem10  35194  finminlem  36313  fimgmcyc  42529  fphpd  42811