Theorem setsplusg 19338

Description: The other components of an extensible structure remain unchanged if the +_g component is set/substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) Generalisation of the former oppglem and mgplem. (Revised by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsplusg.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩)
setsplusg.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsplusg.i	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
setsplusg	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem setsplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsplusg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		setsplusg.i	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17232	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩))
4		setsplusg.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩)
5	4	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩))
6	3, 5	eqtr4i 2762	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2933  ⟨cop 4612  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   sSet csts 17187  Slot cslot 17205  ndxcnx 17217  +_gcplusg 17276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-res 5671  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-sets 17188  df-slot 17206

This theorem is referenced by:  oppgbas  19339  oppgtset  19340  mgpbas  20110  mgpsca  20111  mgptset  20112  mgpds  20114  oppgle  32947