Theorem setsplusg 19477

Description: The other components of an extensible structure remain unchanged if the +_g component is set/substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) Generalisation of the former oppglem and mgplem. (Revised by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsplusg.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩)
setsplusg.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsplusg.i	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
setsplusg	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem setsplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsplusg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		setsplusg.i	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17300	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩))
4		setsplusg.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩)
5	4	fveq2i 6881	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), 𝑆⟩))
6	3, 5	eqtr4i 2786	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2955  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   sSet csts 17255  Slot cslot 17273  ndxcnx 17285  +_gcplusg 17342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-sets 17256  df-slot 17274

This theorem is used by:  oppgbas  19478  oppgtset  19479  oppgle  19494  mgpbas  20278  mgpsca  20279  mgptset  20280  mgpds  20282