Theorem setsnid 17185

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
setsnid	⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑊 ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17162	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
4		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V
5	4, 1	strfvn 17163	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
6		setsres 17155	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
7	6	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ V → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
8		fvex 6874	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
9		setsnid.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
10		eldifsn 4753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
11	8, 9, 10	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
12		fvres 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
14		fvres 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
16	7, 13, 15	3eqtr3g 2788	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
17	5, 16	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
18	3, 17	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
19	1	str0 17166	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
20	19	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
21		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) = (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)
22		reldmsets 17142	. . 3 ⊢ Rel dom sSet
23	20, 21, 22	oveqprc 17169	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
24	18, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  ∅c0 4299  {csn 4592  ⟨cop 4598   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  Slot cslot 17158  ndxcnx 17170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-sets 17141  df-slot 17159

This theorem is referenced by:  resseqnbas  17219  oppchomfval  17682  oppcbas  17686  rescbas  17798  rescco  17801  rescabs  17802  odubas  18259  setsplusg  19289  opprlem  20258  rmodislmod  20843  sralem  21090  srasca  21094  sravsca  21095  zlmlem  21433  zlmsca  21437  znbaslem  21455  thlbas  21612  thlle  21613  opsrbaslem  21963  matbas  22307  matplusg  22308  matsca  22309  matvsca  22310  tuslem  24161  setsmsbas  24370  setsmsds  24371  tnglem  24535  tngds  24543  ttgval  28809  ttglem  28810  cchhllem  28821  setsvtx  28969  resvlem  33312  zlmds  33959  zlmtset  33960  hlhilslem  41939  mnringnmulrd  44210  cznrnglem  48251  cznabel  48252  cznrng  48253  prstcnidlem  49545  prstcnid  49546