Theorem setsnid 17227

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
setsnid	⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑊 ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17204	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
4		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V
5	4, 1	strfvn 17205	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
6		setsres 17197	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
7	6	fveq1d 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ V → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
8		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
9		setsnid.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
10		eldifsn 4762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
11	8, 9, 10	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
12		fvres 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
14		fvres 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
16	7, 13, 15	3eqtr3g 2793	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
17	5, 16	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
18	3, 17	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
19	1	str0 17208	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
20	19	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
21		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) = (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)
22		reldmsets 17184	. . 3 ⊢ Rel dom sSet
23	20, 21, 22	oveqprc 17211	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
24	18, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  ∅c0 4308  {csn 4601  ⟨cop 4607   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   sSet csts 17182  Slot cslot 17200  ndxcnx 17212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-res 5666  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-sets 17183  df-slot 17201

This theorem is referenced by:  resseqnbas  17263  oppchomfval  17726  oppcbas  17730  rescbas  17842  rescco  17845  rescabs  17846  odubas  18303  setsplusg  19333  opprlem  20302  rmodislmod  20887  sralem  21134  srasca  21138  sravsca  21139  zlmlem  21477  zlmsca  21481  znbaslem  21499  thlbas  21656  thlle  21657  opsrbaslem  22007  matbas  22351  matplusg  22352  matsca  22353  matvsca  22354  tuslem  24205  setsmsbas  24414  setsmsds  24415  tnglem  24579  tngds  24587  ttgval  28854  ttglem  28855  cchhllem  28866  setsvtx  29014  resvlem  33349  zlmds  33993  zlmtset  33994  hlhilslem  41957  mnringnmulrd  44238  cznrnglem  48234  cznabel  48235  cznrng  48236  prstcnidlem  49429  prstcnid  49430