Theorem setsnid 17146

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
setsnid	⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑊 ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17122	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
4		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V
5	4, 1	strfvn 17123	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
6		setsres 17115	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
7	6	fveq1d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ V → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
8		fvex 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
9		setsnid.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
10		eldifsn 4789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
11	8, 9, 10	mpbir2an 707	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
12		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
14		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
16	7, 13, 15	3eqtr3g 2793	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
17	5, 16	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
18	3, 17	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
19	1	str0 17126	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
20	19	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
21		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) = (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)
22		reldmsets 17102	. . 3 ⊢ Rel dom sSet
23	20, 21, 22	oveqprc 17129	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
24	18, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944  ∅c0 4321  {csn 4627  ⟨cop 4633   ↾ cres 5677  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   sSet csts 17100  Slot cslot 17118  ndxcnx 17130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sets 17101  df-slot 17119

This theorem is referenced by:  resseqnbas  17190  resslemOLD  17191  oppchomfval  17662  oppchomfvalOLD  17663  oppcbas  17667  oppcbasOLD  17668  rescbas  17780  rescbasOLD  17781  rescco  17784  resccoOLD  17785  rescabs  17786  rescabsOLD  17787  odubas  18248  odubasOLD  18249  setsplusg  19255  oppglemOLD  19256  mgplemOLD  20033  opprlem  20230  opprlemOLD  20231  rmodislmod  20684  rmodislmodOLD  20685  sralem  20935  sralemOLD  20936  srasca  20943  srascaOLD  20944  sravsca  20945  sravscaOLD  20946  zlmlem  21285  zlmlemOLD  21286  zlmsca  21293  znbaslem  21309  znbaslemOLD  21310  thlbas  21468  thlbasOLD  21469  thlle  21470  thlleOLD  21471  opsrbaslem  21823  opsrbaslemOLD  21824  matbas  22133  matplusg  22134  matsca  22135  matscaOLD  22136  matvsca  22137  matvscaOLD  22138  tuslem  23991  tuslemOLD  23992  setsmsbas  24201  setsmsbasOLD  24202  setsmsds  24203  setsmsdsOLD  24204  tnglem  24369  tnglemOLD  24370  tngds  24384  tngdsOLD  24385  ttgval  28393  ttgvalOLD  28394  ttglem  28395  ttglemOLD  28396  cchhllem  28411  cchhllemOLD  28412  setsvtx  28562  resvlem  32715  resvlemOLD  32716  zlmds  33240  zlmdsOLD  33241  zlmtset  33242  zlmtsetOLD  33243  hlhilslem  41112  hlhilslemOLD  41113  mnringnmulrd  43270  mnringnmulrdOLD  43271  cznrnglem  46939  cznabel  46940  cznrng  46941  prstcnidlem  47772  prstcnid  47773