MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsnid 17142
Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsnid.n (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
Assertion
Ref Expression
setsnid (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsnid
StepHypRef Expression
1 setsid.e . . . 4 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2 id 22 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑊 ∈ V)
31, 2strfvnd 17118 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
4 ovex 7442 . . . . 5 (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V
54, 1strfvn 17119 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
6 setsres 17111 . . . . . 6 (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
76fveq1d 6894 . . . . 5 (𝑊 ∈ V → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
8 fvex 6905 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ V
9 setsnid.n . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
10 eldifsn 4791 . . . . . . 7 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
118, 9, 10mpbir2an 710 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
12 fvres 6911 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
14 fvres 6911 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
1511, 14ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
167, 13, 153eqtr3g 2796 . . . 4 (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
175, 16eqtrid 2785 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
183, 17eqtr4d 2776 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
191str0 17122 . . . 4 ∅ = (𝐸‘∅)
2019eqcomi 2742 . . 3 (𝐸‘∅) = ∅
21 eqid 2733 . . 3 (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) = (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)
22 reldmsets 17098 . . 3 Rel dom sSet
2320, 21, 22oveqprc 17125 . 2 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
2418, 23pm2.61i 182 1 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  cdif 3946  c0 4323  {csn 4629  cop 4635  cres 5679  cfv 6544  (class class class)co 7409   sSet csts 17096  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-sets 17097  df-slot 17115
This theorem is referenced by:  resseqnbas  17186  resslemOLD  17187  oppchomfval  17658  oppchomfvalOLD  17659  oppcbas  17663  oppcbasOLD  17664  rescbas  17776  rescbasOLD  17777  rescco  17780  resccoOLD  17781  rescabs  17782  rescabsOLD  17783  odubas  18244  odubasOLD  18245  setsplusg  19214  oppglemOLD  19215  mgplemOLD  19992  opprlem  20155  opprlemOLD  20156  rmodislmod  20540  rmodislmodOLD  20541  sralem  20790  sralemOLD  20791  srasca  20798  srascaOLD  20799  sravsca  20800  sravscaOLD  20801  zlmlem  21066  zlmlemOLD  21067  zlmsca  21074  znbaslem  21090  znbaslemOLD  21091  thlbas  21249  thlbasOLD  21250  thlle  21251  thlleOLD  21252  opsrbaslem  21604  opsrbaslemOLD  21605  matbas  21913  matplusg  21914  matsca  21915  matscaOLD  21916  matvsca  21917  matvscaOLD  21918  tuslem  23771  tuslemOLD  23772  setsmsbas  23981  setsmsbasOLD  23982  setsmsds  23983  setsmsdsOLD  23984  tnglem  24149  tnglemOLD  24150  tngds  24164  tngdsOLD  24165  ttgval  28126  ttgvalOLD  28127  ttglem  28128  ttglemOLD  28129  cchhllem  28144  cchhllemOLD  28145  setsvtx  28295  resvlem  32445  resvlemOLD  32446  zlmds  32942  zlmdsOLD  32943  zlmtset  32944  zlmtsetOLD  32945  hlhilslem  40809  hlhilslemOLD  40810  mnringnmulrd  42968  mnringnmulrdOLD  42969  cznrnglem  46851  cznabel  46852  cznrng  46853  prstcnidlem  47685  prstcnid  47686
  Copyright terms: Public domain W3C validator