Theorem setsnid 17147

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
setsnid	⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑊 ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17124	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
4		ovex 7401	. . . . 5 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V
5	4, 1	strfvn 17125	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
6		setsres 17117	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
7	6	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ V → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
8		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
9		setsnid.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
10		eldifsn 4744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
11	8, 9, 10	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
12		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
14		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
16	7, 13, 15	3eqtr3g 2795	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
17	5, 16	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
18	3, 17	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
19	1	str0 17128	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
20	19	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
21		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) = (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)
22		reldmsets 17104	. . 3 ⊢ Rel dom sSet
23	20, 21, 22	oveqprc 17131	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
24	18, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟨cop 4588   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   sSet csts 17102  Slot cslot 17120  ndxcnx 17132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-res 5644  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-sets 17103  df-slot 17121

This theorem is referenced by:  resseqnbas  17181  oppchomfval  17649  oppcbas  17653  rescbas  17765  rescco  17768  rescabs  17769  odubas  18226  setsplusg  19291  opprlem  20290  rmodislmod  20893  sralem  21140  srasca  21144  sravsca  21145  zlmlem  21483  zlmsca  21487  znbaslem  21505  thlbas  21663  thlle  21664  opsrbaslem  22016  matbas  22369  matplusg  22370  matsca  22371  matvsca  22372  tuslem  24222  setsmsbas  24431  setsmsds  24432  tnglem  24596  tngds  24604  ttgval  28959  ttglem  28960  cchhllem  28971  setsvtx  29120  resvlem  33426  zlmds  34140  zlmtset  34141  hlhilslem  42314  mnringnmulrd  44570  cznrnglem  48619  cznabel  48620  cznrng  48621  prstcnidlem  49911  prstcnid  49912