Theorem mgpsca 19314

Description: The multiplication monoid has the same (if any) scalars as the original ring. Mostly to simplify pwsmgp 19439. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsca.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpsca	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)

Proof of Theorem mgpsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsca.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		df-sca 16639	. . 3 ⊢ Scalar = Slot 5
4		5nn 11760	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		2re 11748	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2lt5 11853	. . . 4 ⊢ 2 < 5
7	5, 6	gtneii 10790	. . 3 ⊢ 5 ≠ 2
8	2, 3, 4, 7	mgplem 19312	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
9	1, 8	eqtri 2781	1 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1538  ‘cfv 6335  2c2 11729  5c5 11732  Scalarcsca 16626  mulGrpcmgp 19307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-sca 16639  df-mgp 19308

This theorem is referenced by:  pwsmgp  19439