Theorem oppglemOLD 19257

Description: Obsolete version of setsplusg 19256 as of 18-Oct-2024. Lemma for oppgbas 19258. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
oppglemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
oppglemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
oppglemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem oppglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppglemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		oppglemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17135	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		oppglemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 17134	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17228	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3006	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17147	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
12	10, 11	oppgval 19253	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2762	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  tpos ctpos 8213  ℕcn 12217  2c2 12272   sSet csts 17101  Slot cslot 17119  ndxcnx 17131  +_gcplusg 17202  opp_gcoppg 19251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-1cn 11171  ax-addcl 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-plusg 17215  df-oppg 19252

This theorem is referenced by:  oppgbasOLD  19259  oppgtsetOLD  19261  oppgleOLD  32395