Theorem oppglemOLD 19382

Description: Obsolete version of setsplusg 19381 as of 18-Oct-2024. Lemma for oppgbas 19383. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
oppglemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
oppglemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
oppglemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem oppglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppglemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		oppglemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17231	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		oppglemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 17230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17324	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3005	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17243	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
12	10, 11	oppgval 19378	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2766	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ⟨cop 4637  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8249  ℕcn 12264  2c2 12319   sSet csts 17197  Slot cslot 17215  ndxcnx 17227  +_gcplusg 17298  opp_gcoppg 19376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-plusg 17311  df-oppg 19377

This theorem is referenced by:  oppgbasOLD  19384  oppgtsetOLD  19386  oppgleOLD  32937