Theorem oppglemOLD 19369

Description: Obsolete version of setsplusg 19368 as of 27-Oct-2024. Lemma for oppgbas 19370. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
oppglemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
oppglemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
oppglemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem oppglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppglemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		oppglemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17234	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		oppglemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 17233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17323	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17245	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
12	10, 11	oppgval 19365	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2768	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8250  ℕcn 12266  2c2 12321   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  +_gcplusg 17297  opp_gcoppg 19363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-plusg 17310  df-oppg 19364

This theorem is referenced by:  oppgleOLD  32952