Theorem oppgplus 19578

Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ + = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplus	⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

Proof of Theorem oppgplus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgval.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		oppgval.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
3		oppgplusfval.4	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑂)
4	1, 2, 3	oppgplusfval 19577	. . 3 ⊢ + = tpos +
5	4	oveqi 7443	. 2 ⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑋tpos + 𝑌)
6		ovtpos 8272	. 2 ⊢ (𝑋tpos + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
7	5, 6	eqtri 2786	1 ⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  tpos ctpos 8256  +_gcplusg 17443  opp_gcoppg 19574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-1cn 11271  ax-addcl 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-nn 12349  df-2 12418  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-plusg 17456  df-oppg 19575

This theorem is used by:  oppgmnd  19583  oppgmndb  19584  oppgid  19585  oppggrp  19586  oppggrpb  19587  oppginv  19588  invoppggim  19589  oppgsubm  19591  oppgcntz  19593  gsumwrev  19595  oppglsm  19871  gsumzoppg  20173  omndaddr  20358  ogrpaddltrd  20369  ogrpaddltrbid  20370  oppgtmd  24431  tgpconncomp  24447  qustgpopn  24454  lsmsnorb2  34003