Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplus 18480
 Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplus (𝑋 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4 + = (+g𝑅)
2 oppgval.3 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
3 oppgplusfval.4 . . . 4 = (+g𝑂)
41, 2, 3oppgplusfval 18479 . . 3 = tpos +
54oveqi 7172 . 2 (𝑋 𝑌) = (𝑋tpos + 𝑌)
6 ovtpos 7910 . 2 (𝑋tpos + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
75, 6eqtri 2847 1 (𝑋 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1536  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  tpos ctpos 7894  +gcplusg 16568  oppgcoppg 18476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-1cn 10598  ax-addcl 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-oppg 18477 This theorem is referenced by:  oppgmnd  18485  oppgmndb  18486  oppgid  18487  oppggrp  18488  oppggrpb  18489  oppginv  18490  invoppggim  18491  oppgsubm  18493  oppgcntz  18495  gsumwrev  18497  oppglsm  18770  gsumzoppg  19067  oppgtmd  22708  tgpconncomp  22724  qustgpopn  22731  omndaddr  30712  ogrpaddltrd  30724  ogrpaddltrbid  30725
 Copyright terms: Public domain W3C validator