Theorem oppgplus 19563

Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ + = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplus	⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

Proof of Theorem oppgplus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgval.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		oppgval.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
3		oppgplusfval.4	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑂)
4	1, 2, 3	oppgplusfval 19562	. . 3 ⊢ + = tpos +
5	4	oveqi 7433	. 2 ⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑋tpos + 𝑌)
6		ovtpos 8258	. 2 ⊢ (𝑋tpos + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
7	5, 6	eqtri 2784	1 ⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8242  +_gcplusg 17428  opp_gcoppg 19559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-plusg 17441  df-oppg 19560

This theorem is used by:  oppgmnd  19568  oppgmndb  19569  oppgid  19570  oppggrp  19571  oppggrpb  19572  oppginv  19573  invoppggim  19574  oppgsubm  19576  oppgcntz  19578  gsumwrev  19580  oppglsm  19856  gsumzoppg  20158  omndaddr  20343  ogrpaddltrd  20354  ogrpaddltrbid  20355  oppgtmd  24416  tgpconncomp  24432  qustgpopn  24439  lsmsnorb2  33947