Theorem oppgplus 18941

Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ ✚ = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplus	⊢ (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

Proof of Theorem oppgplus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgval.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		oppgval.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
3		oppgplusfval.4	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑂)
4	1, 2, 3	oppgplusfval 18940	. . 3 ⊢ ✚ = tpos +
5	4	oveqi 7281	. 2 ⊢ (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋tpos + 𝑌)
6		ovtpos 8045	. 2 ⊢ (𝑋tpos + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
7	5, 6	eqtri 2766	1 ⊢ (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

Syntax hints:   = wceq 1539  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  tpos ctpos 8029  +_gcplusg 16950  opp_gcoppg 18937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-1cn 10917  ax-addcl 10919

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-nn 11962  df-2 12024  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-plusg 16963  df-oppg 18938

This theorem is referenced by:  oppgmnd  18949  oppgmndb  18950  oppgid  18951  oppggrp  18952  oppggrpb  18953  oppginv  18954  invoppggim  18955  oppgsubm  18957  oppgcntz  18959  gsumwrev  18961  oppglsm  19235  gsumzoppg  19533  oppgtmd  23236  tgpconncomp  23252  qustgpopn  23259  omndaddr  31319  ogrpaddltrd  31331  ogrpaddltrbid  31332  lsmsnorb2  31566