Theorem mgpbas 20061

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 20059	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 17189	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17257	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 19289	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2753	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  mulGrpcmgp 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mgp 20057

This theorem is referenced by:  mgptopn  20064  mgpress  20066  prdsmgp  20067  rngass  20075  rngcl  20080  isrngd  20089  rngpropd  20090  dfur2  20100  srgcl  20109  srgass  20110  srgideu  20111  srgidcl  20115  srgidmlem  20117  issrgid  20120  srg1zr  20131  srgpcomp  20134  srgpcompp  20135  srgpcomppsc  20136  srgbinomlem1  20142  srgbinomlem4  20145  srgbinomlem  20146  srgbinom  20147  csrgbinom  20148  ringcl  20166  crngcom  20167  iscrng2  20168  ringass  20169  ringideu  20170  crngbascntr  20172  ringidcl  20181  ringidmlem  20184  isringid  20187  ringidss  20193  isringrng  20203  ringpropd  20204  crngpropd  20205  isringd  20207  iscrngd  20208  ring1  20226  gsummgp0  20234  pwspjmhmmgpd  20244  pwsexpg  20245  xpsring1d  20249  oppr1  20266  unitgrpbas  20298  unitsubm  20302  rngidpropd  20331  isrnghmmul  20358  rnghmf1o  20368  idrnghm  20374  dfrhm2  20390  rhmmul  20402  isrhm2d  20403  idrhm  20406  rhmf1o  20407  pwsco1rhm  20418  pwsco2rhm  20419  c0rhm  20450  c0rnghm  20451  rhmimasubrnglem  20481  rhmimasubrng  20482  cntzsubrng  20483  subrgsubm  20501  issubrg3  20516  cntzsubr  20522  pwsdiagrhm  20523  rhmpropd  20525  isdomn3  20631  isdrng2  20659  drngmclOLD  20667  drngid2  20668  isdrngd  20681  isdrngdOLD  20683  subrgacs  20716  cntzsdrg  20718  subdrgint  20719  primefld  20721  rlmscaf  21121  rnglidlmmgm  21162  rnglidlmsgrp  21163  rng2idl1cntr  21222  xrsmcmn  21310  cnfldexp  21323  cnmsubglem  21354  expmhm  21360  nn0srg  21361  rge0srg  21362  expghm  21392  fermltlchr  21446  freshmansdream  21491  frobrhm  21492  cnmsgnbas  21494  sraassab  21784  sraassaOLD  21786  assamulgscmlem1  21815  assamulgscmlem2  21816  psrcrng  21888  mplcoe3  21952  mplcoe5lem  21953  mplcoe5  21954  mplbas2  21956  evlslem3  21994  evlslem6  21995  evlslem1  21996  evlsgsummul  22006  evlspw  22007  mpfind  22021  mhppwdeg  22044  psdpw  22064  ply1moncl  22164  coe1tm  22166  coe1pwmul  22172  ply1scltm  22174  ply1idvr1  22188  ply1coefsupp  22191  ply1coe  22192  gsummoncoe1  22202  lply1binomsc  22205  ply1fermltlchr  22206  evls1gsummul  22219  evls1pw  22220  evl1expd  22239  evl1gsummul  22254  evl1scvarpw  22257  evl1scvarpwval  22258  evl1gsummon  22259  evls1fpws  22263  rhmply1mon  22283  ringvcl  22294  mamuvs2  22300  matgsumcl  22354  madetsmelbas  22358  madetsmelbas2  22359  mat1mhm  22378  scmatmhm  22428  mdetleib2  22482  mdetf  22489  m1detdiag  22491  mdetdiaglem  22492  mdetdiag  22493  mdetdiagid  22494  mdetrlin  22496  mdetrsca  22497  mdetralt  22502  mdetunilem7  22512  mdetunilem8  22513  mdetuni0  22515  m2detleiblem2  22522  m2detleiblem3  22523  m2detleiblem4  22524  smadiadetlem4  22563  mat2pmatmhm  22627  pmatcollpwscmatlem1  22683  mply1topmatcllem  22697  mply1topmatcl  22699  pm2mpghm  22710  pm2mpmhm  22714  monmat2matmon  22718  pm2mp  22719  chpscmat  22736  chpscmatgsumbin  22738  chpscmatgsummon  22739  chp0mat  22740  chpidmat  22741  chfacfscmulcl  22751  chfacfscmul0  22752  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulcl  22755  chfacfpmmul0  22756  chfacfpmmulgsum  22758  chfacfpmmulgsum2  22759  cayhamlem1  22760  cpmadugsumlemB  22768  cpmadugsumlemC  22769  cpmadugsumlemF  22770  cayhamlem2  22778  cayhamlem4  22782  nrgtrg  24585  deg1pw  26033  ply1remlem  26077  fta1blem  26083  idomrootle  26085  plypf1  26124  efabl  26466  efsubm  26467  amgm  26908  wilthlem2  26986  wilthlem3  26987  dchrelbas2  27155  dchrelbas3  27156  dchrzrhmul  27164  dchrmulcl  27167  dchrn0  27168  dchrinvcl  27171  dchrfi  27173  dchrsum2  27186  sum2dchr  27192  lgsqrlem1  27264  lgsqrlem2  27265  lgsqrlem3  27266  lgsqrlem4  27267  lgseisenlem3  27295  lgseisenlem4  27296  dchrisum0flblem1  27426  cntrcrng  33017  psgnid  33061  cnmsgn0g  33110  altgnsg  33113  urpropd  33190  isunit3  33199  elrgspnlem1  33200  elrgspnlem2  33201  elrgspnlem3  33202  elrgspnlem4  33203  elrgspn  33204  elrgspnsubrunlem1  33205  elrgspnsubrunlem2  33206  0ringcring  33210  erlbr2d  33222  erler  33223  rlocaddval  33226  rlocmulval  33227  rloccring  33228  rloc0g  33229  rloc1r  33230  rlocf1  33231  domnprodn0  33233  rrgsubm  33241  znfermltl  33344  unitprodclb  33367  elringlsm  33371  ringlsmss  33373  lsmsnpridl  33376  cringm4  33424  ssdifidlprm  33436  mxidlprm  33448  rprmdvdspow  33511  rprmdvdsprod  33512  1arithidomlem1  33513  1arithidom  33515  1arithufdlem1  33522  1arithufdlem2  33523  1arithufdlem3  33524  1arithufdlem4  33525  dfufd2lem  33527  zringfrac  33532  ressply1evls1  33541  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  coe1vr1  33564  deg1vr  33565  gsummoncoe1fzo  33570  ply1degltdimlem  33625  ply1degltdim  33626  assarrginv  33639  evls1fldgencl  33672  rtelextdg2lem  33723  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem6  33784  cos9thpiminply  33785  mdetpmtr1  33820  iistmd  33899  xrge0iifmhm  33936  xrge0pluscn  33937  pl1cn  33952  zrhcntr  33976  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c1p4  42106  aks6d1c1p5  42107  aks6d1c1p7  42108  aks6d1c1p6  42109  aks6d1c1p8  42110  aks6d1c1  42111  evl1gprodd  42112  aks6d1c2lem4  42122  idomnnzpownz  42127  idomnnzgmulnz  42128  ringexp0nn  42129  aks6d1c5lem0  42130  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  aks6d1c5  42134  deg1gprod  42135  deg1pow  42136  aks6d1c6lem1  42165  aks6d1c6lem2  42166  aks6d1c6lem3  42167  aks5lem2  42182  aks5lem3a  42184  unitscyglem5  42194  aks5lem7  42195  domnexpgn0cl  42518  abvexp  42527  fidomncyc  42530  pwsgprod  42539  evlsvvvallem  42556  evlsvvval  42558  evlsexpval  42562  selvvvval  42580  evlselv  42582  mhphf  42592  hbtlem4  43122  mon1psubm  43195  deg1mhm  43196  amgm2d  44194  amgm3d  44195  amgm4d  44196  2zrngmmgm  48244  2zrngmsgrp  48245  2zrngnring  48250  cznrng  48253  cznnring  48254  mgpsumunsn  48353  mgpsumz  48354  mgpsumn  48355  invginvrid  48359  ply1vr1smo  48375  ply1mulgsumlem4  48382  ply1mulgsum  48383  elmgpcntrd  48997  amgmlemALT  49796  amgmw2d  49797