MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpbas 19910
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpbas 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mgpbas.1 . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3 eqid 2733 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
42, 3mgpval 19907 . . 3 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
5 baseid 17094 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
6 basendxnplusgndx 17171 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
74, 5, 6setsplusg 19136 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
81, 7eqtri 2761 1 𝐵 = (Base‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  cfv 6500  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  mulGrpcmgp 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mgp 19905
This theorem is referenced by:  mgptopn  19916  mgpress  19919  mgpressOLD  19920  dfur2  19924  srgcl  19932  srgass  19933  srgideu  19934  srgidcl  19938  srgidmlem  19940  issrgid  19943  srg1zr  19954  srgpcomp  19957  srgpcompp  19958  srgpcomppsc  19959  srgbinomlem1  19965  srgbinomlem4  19968  srgbinomlem  19969  srgbinom  19970  csrgbinom  19971  ringcl  19989  crngcom  19990  iscrng2  19991  ringass  19992  ringideu  19993  ringidcl  19997  ringidmlem  19999  isringid  20002  ringidss  20006  ringpropd  20014  crngpropd  20015  isringd  20017  iscrngd  20018  ring1  20034  gsummgp0  20040  prdsmgp  20042  pwspjmhmmgpd  20051  pwsexpg  20052  oppr1  20071  unitgrpbas  20103  unitsubm  20107  rngidpropd  20134  dfrhm2  20158  rhmmul  20169  isrhm2d  20170  idrhm  20173  rhmf1o  20174  pwsco1rhm  20182  pwsco2rhm  20183  isdrng2  20232  drngmcl  20235  drngid2  20239  isdrngd  20249  isdrngdOLD  20251  subrgsubm  20277  issubrg3  20293  cntzsubr  20298  pwsdiagrhm  20299  rhmpropd  20301  subrgacs  20310  cntzsdrg  20312  subdrgint  20313  primefld  20315  rlmscaf  20723  xrsmcmn  20843  cnfldexp  20853  cnmsubglem  20883  expmhm  20889  nn0srg  20890  rge0srg  20891  expghm  20919  cnmsgnbas  21005  sraassa  21296  assamulgscmlem1  21325  assamulgscmlem2  21326  psrcrng  21405  mplcoe3  21462  mplcoe5lem  21463  mplcoe5  21464  mplbas2  21466  evlslem3  21513  evlslem6  21514  evlslem1  21515  evlsgsummul  21525  evlspw  21526  mpfind  21540  mhppwdeg  21563  ply1moncl  21665  coe1tm  21667  coe1pwmul  21673  ply1scltm  21675  ply1coefsupp  21689  ply1coe  21690  gsummoncoe1  21698  lply1binomsc  21701  evls1gsummul  21714  evls1pw  21715  evl1expd  21734  evl1gsummul  21749  evl1scvarpw  21752  evl1scvarpwval  21753  evl1gsummon  21754  ringvcl  21770  mamuvs2  21776  matgsumcl  21832  madetsmelbas  21836  madetsmelbas2  21837  mat1mhm  21856  scmatmhm  21906  mdetleib2  21960  mdetf  21967  m1detdiag  21969  mdetdiaglem  21970  mdetdiag  21971  mdetdiagid  21972  mdetrlin  21974  mdetrsca  21975  mdetralt  21980  mdetunilem7  21990  mdetunilem8  21991  mdetuni0  21993  m2detleiblem2  22000  m2detleiblem3  22001  m2detleiblem4  22002  smadiadetlem4  22041  mat2pmatmhm  22105  pmatcollpwscmatlem1  22161  mply1topmatcllem  22175  mply1topmatcl  22177  pm2mpghm  22188  pm2mpmhm  22192  monmat2matmon  22196  pm2mp  22197  chpscmat  22214  chpscmatgsumbin  22216  chpscmatgsummon  22217  chp0mat  22218  chpidmat  22219  chfacfscmulcl  22229  chfacfscmul0  22230  chfacfscmulgsum  22232  chfacfpmmulcl  22233  chfacfpmmul0  22234  chfacfpmmulgsum  22236  chfacfpmmulgsum2  22237  cayhamlem1  22238  cpmadugsumlemB  22246  cpmadugsumlemC  22247  cpmadugsumlemF  22248  cayhamlem2  22256  cayhamlem4  22260  nrgtrg  24077  deg1pw  25508  ply1remlem  25550  fta1blem  25556  plypf1  25596  efabl  25929  efsubm  25930  amgm  26363  wilthlem2  26441  wilthlem3  26442  dchrelbas2  26608  dchrelbas3  26609  dchrzrhmul  26617  dchrmulcl  26620  dchrn0  26621  dchrinvcl  26624  dchrfi  26626  dchrsum2  26639  sum2dchr  26645  lgsqrlem1  26717  lgsqrlem2  26718  lgsqrlem3  26719  lgsqrlem4  26720  lgseisenlem3  26748  lgseisenlem4  26749  dchrisum0flblem1  26879  cntrcrng  31960  psgnid  32002  cnmsgn0g  32051  altgnsg  32054  freshmansdream  32123  frobrhm  32124  fermltlchr  32208  znfermltl  32209  elringlsm  32229  ringlsmss  32231  lsmsnpridl  32234  cringm4  32274  mxidlprm  32292  evls1fpws  32327  ply1fermltlchr  32339  gsummoncoe1fzo  32345  ply1degltdimlem  32381  ply1degltdim  32382  mdetpmtr1  32468  iistmd  32547  xrge0iifmhm  32584  xrge0pluscn  32585  pl1cn  32600  pwsgprod  40779  evlsbagval  40795  evlsexpval  40796  mhphf  40818  hbtlem4  41500  idomrootle  41569  isdomn3  41578  mon1psubm  41580  deg1mhm  41581  amgm2d  42563  amgm3d  42564  amgm4d  42565  isringrng  46269  rngcl  46271  isrnghmmul  46281  rnghmf1o  46291  idrnghm  46296  c0rhm  46300  c0rnghm  46301  lidlmmgm  46313  lidlmsgrp  46314  2zrngmmgm  46334  2zrngmsgrp  46335  2zrngnring  46340  cznrng  46343  cznnring  46344  mgpsumunsn  46527  mgpsumz  46528  mgpsumn  46529  invginvrid  46533  ply1vr1smo  46552  ply1mulgsumlem4  46560  ply1mulgsum  46561  amgmlemALT  47340  amgmw2d  47341
  Copyright terms: Public domain W3C validator