Theorem mgpbas 19735

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 19732	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 16924	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17001	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 18963	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2767	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1539  ‘cfv 6437  Basecbs 16921  ._rcmulr 16972  mulGrpcmgp 19729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-plusg 16984  df-mgp 19730

This theorem is referenced by:  mgptopn  19741  mgpress  19744  mgpressOLD  19745  dfur2  19749  srgcl  19757  srgass  19758  srgideu  19759  srgidcl  19763  srgidmlem  19765  issrgid  19768  srg1zr  19774  srgpcomp  19777  srgpcompp  19778  srgpcomppsc  19779  srgbinomlem1  19785  srgbinomlem4  19788  srgbinomlem  19789  srgbinom  19790  csrgbinom  19791  ringcl  19809  crngcom  19810  iscrng2  19811  ringass  19812  ringideu  19813  ringidcl  19816  ringidmlem  19818  isringid  19821  ringidss  19825  ringpropd  19830  crngpropd  19831  isringd  19833  iscrngd  19834  ring1  19850  gsummgp0  19856  prdsmgp  19858  oppr1  19885  unitgrpbas  19917  unitsubm  19921  rngidpropd  19946  dfrhm2  19970  rhmmul  19980  isrhm2d  19981  idrhm  19984  rhmf1o  19985  pwsco1rhm  19991  pwsco2rhm  19992  isdrng2  20010  drngmcl  20013  drngid2  20016  isdrngd  20025  subrgsubm  20046  issubrg3  20061  cntzsubr  20066  pwsdiagrhm  20067  rhmpropd  20069  subrgacs  20077  cntzsdrg  20079  subdrgint  20080  primefld  20082  rlmscaf  20488  xrsmcmn  20630  cnfldexp  20640  cnmsubglem  20670  expmhm  20676  nn0srg  20677  rge0srg  20678  expghm  20706  cnmsgnbas  20792  sraassa  21083  assamulgscmlem1  21112  assamulgscmlem2  21113  psrcrng  21191  mplcoe3  21248  mplcoe5lem  21249  mplcoe5  21250  mplbas2  21252  evlslem3  21299  evlslem6  21300  evlslem1  21301  evlsgsummul  21311  evlspw  21312  mpfind  21326  mhppwdeg  21349  ply1moncl  21451  coe1tm  21453  coe1pwmul  21459  ply1scltm  21461  ply1coefsupp  21475  ply1coe  21476  gsummoncoe1  21484  lply1binomsc  21487  evls1gsummul  21500  evls1pw  21501  evl1expd  21520  evl1gsummul  21535  evl1scvarpw  21538  evl1scvarpwval  21539  evl1gsummon  21540  ringvcl  21556  mamuvs2  21562  matgsumcl  21618  madetsmelbas  21622  madetsmelbas2  21623  mat1mhm  21642  scmatmhm  21692  mdetleib2  21746  mdetf  21753  m1detdiag  21755  mdetdiaglem  21756  mdetdiag  21757  mdetdiagid  21758  mdetrlin  21760  mdetrsca  21761  mdetralt  21766  mdetunilem7  21776  mdetunilem8  21777  mdetuni0  21779  m2detleiblem2  21786  m2detleiblem3  21787  m2detleiblem4  21788  smadiadetlem4  21827  mat2pmatmhm  21891  pmatcollpwscmatlem1  21947  mply1topmatcllem  21961  mply1topmatcl  21963  pm2mpghm  21974  pm2mpmhm  21978  monmat2matmon  21982  pm2mp  21983  chpscmat  22000  chpscmatgsumbin  22002  chpscmatgsummon  22003  chp0mat  22004  chpidmat  22005  chfacfscmulcl  22015  chfacfscmul0  22016  chfacfscmulgsum  22018  chfacfpmmulcl  22019  chfacfpmmul0  22020  chfacfpmmulgsum  22022  chfacfpmmulgsum2  22023  cayhamlem1  22024  cpmadugsumlemB  22032  cpmadugsumlemC  22033  cpmadugsumlemF  22034  cayhamlem2  22042  cayhamlem4  22046  nrgtrg  23863  deg1pw  25294  ply1remlem  25336  fta1blem  25342  plypf1  25382  efabl  25715  efsubm  25716  amgm  26149  wilthlem2  26227  wilthlem3  26228  dchrelbas2  26394  dchrelbas3  26395  dchrzrhmul  26403  dchrmulcl  26406  dchrn0  26407  dchrinvcl  26410  dchrfi  26412  dchrsum2  26425  sum2dchr  26431  lgsqrlem1  26503  lgsqrlem2  26504  lgsqrlem3  26505  lgsqrlem4  26506  lgseisenlem3  26534  lgseisenlem4  26535  dchrisum0flblem1  26665  cntrcrng  31331  psgnid  31373  cnmsgn0g  31422  altgnsg  31425  freshmansdream  31493  frobrhm  31494  znfermltl  31571  elringlsm  31590  ringlsmss  31592  lsmsnpridl  31595  cringm4  31631  mxidlprm  31649  ply1fermltl  31679  mdetpmtr1  31782  iistmd  31861  xrge0iifmhm  31898  xrge0pluscn  31899  pl1cn  31914  pwspjmhmmgpd  40274  pwsexpg  40275  pwsgprod  40276  evlsbagval  40282  evlsexpval  40283  mhphf  40292  hbtlem4  40958  idomrootle  41027  isdomn3  41036  mon1psubm  41038  deg1mhm  41039  amgm2d  41816  amgm3d  41817  amgm4d  41818  isringrng  45450  rngcl  45452  isrnghmmul  45462  rnghmf1o  45472  idrnghm  45477  c0rhm  45481  c0rnghm  45482  lidlmmgm  45494  lidlmsgrp  45495  2zrngmmgm  45515  2zrngmsgrp  45516  2zrngnring  45521  cznrng  45524  cznnring  45525  mgpsumunsn  45708  mgpsumz  45709  mgpsumn  45710  invginvrid  45714  ply1vr1smo  45733  ply1mulgsumlem4  45741  ply1mulgsum  45742  amgmlemALT  46518  amgmw2d  46519