Theorem mgpbas 20167

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 20164	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 17261	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17341	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 19390	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2768	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1537  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  mulGrpcmgp 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mgp 20162

This theorem is referenced by:  mgptopn  20173  mgpress  20176  mgpressOLD  20177  prdsmgp  20178  rngass  20186  rngcl  20191  isrngd  20200  rngpropd  20201  dfur2  20211  srgcl  20220  srgass  20221  srgideu  20222  srgidcl  20226  srgidmlem  20228  issrgid  20231  srg1zr  20242  srgpcomp  20245  srgpcompp  20246  srgpcomppsc  20247  srgbinomlem1  20253  srgbinomlem4  20256  srgbinomlem  20257  srgbinom  20258  csrgbinom  20259  ringcl  20277  crngcom  20278  iscrng2  20279  ringass  20280  ringideu  20281  crngbascntr  20283  ringidcl  20289  ringidmlem  20291  isringid  20294  ringidss  20300  isringrng  20310  ringpropd  20311  crngpropd  20312  isringd  20314  iscrngd  20315  ring1  20333  gsummgp0  20341  pwspjmhmmgpd  20351  pwsexpg  20352  xpsring1d  20356  oppr1  20376  unitgrpbas  20408  unitsubm  20412  rngidpropd  20441  isrnghmmul  20468  rnghmf1o  20478  idrnghm  20484  dfrhm2  20500  rhmmul  20512  isrhm2d  20513  idrhm  20516  rhmf1o  20517  pwsco1rhm  20528  pwsco2rhm  20529  c0rhm  20560  c0rnghm  20561  rhmimasubrnglem  20591  rhmimasubrng  20592  cntzsubrng  20593  subrgsubm  20613  issubrg3  20628  cntzsubr  20634  pwsdiagrhm  20635  rhmpropd  20637  isdomn3  20737  isdrng2  20765  drngmclOLD  20773  drngid2  20774  isdrngd  20787  isdrngdOLD  20789  subrgacs  20823  cntzsdrg  20825  subdrgint  20826  primefld  20828  rlmscaf  21237  rnglidlmmgm  21278  rnglidlmsgrp  21279  rng2idl1cntr  21338  xrsmcmn  21427  cnfldexp  21440  cnmsubglem  21471  expmhm  21477  nn0srg  21478  rge0srg  21479  expghm  21509  fermltlchr  21567  freshmansdream  21616  frobrhm  21617  cnmsgnbas  21619  sraassab  21911  sraassaOLD  21913  assamulgscmlem1  21942  assamulgscmlem2  21943  psrcrng  22015  mplcoe3  22079  mplcoe5lem  22080  mplcoe5  22081  mplbas2  22083  evlslem3  22127  evlslem6  22128  evlslem1  22129  evlsgsummul  22139  evlspw  22140  mpfind  22154  mhppwdeg  22177  ply1moncl  22295  coe1tm  22297  coe1pwmul  22303  ply1scltm  22305  ply1idvr1  22319  ply1coefsupp  22322  ply1coe  22323  gsummoncoe1  22333  lply1binomsc  22336  ply1fermltlchr  22337  evls1gsummul  22350  evls1pw  22351  evl1expd  22370  evl1gsummul  22385  evl1scvarpw  22388  evl1scvarpwval  22389  evl1gsummon  22390  evls1fpws  22394  rhmply1mon  22414  ringvcl  22425  mamuvs2  22431  matgsumcl  22487  madetsmelbas  22491  madetsmelbas2  22492  mat1mhm  22511  scmatmhm  22561  mdetleib2  22615  mdetf  22622  m1detdiag  22624  mdetdiaglem  22625  mdetdiag  22626  mdetdiagid  22627  mdetrlin  22629  mdetrsca  22630  mdetralt  22635  mdetunilem7  22645  mdetunilem8  22646  mdetuni0  22648  m2detleiblem2  22655  m2detleiblem3  22656  m2detleiblem4  22657  smadiadetlem4  22696  mat2pmatmhm  22760  pmatcollpwscmatlem1  22816  mply1topmatcllem  22830  mply1topmatcl  22832  pm2mpghm  22843  pm2mpmhm  22847  monmat2matmon  22851  pm2mp  22852  chpscmat  22869  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  chp0mat  22873  chpidmat  22874  chfacfscmulcl  22884  chfacfscmul0  22885  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulcl  22888  chfacfpmmul0  22889  chfacfpmmulgsum  22891  chfacfpmmulgsum2  22892  cayhamlem1  22893  cpmadugsumlemB  22901  cpmadugsumlemC  22902  cpmadugsumlemF  22903  cayhamlem2  22911  cayhamlem4  22915  nrgtrg  24732  deg1pw  26180  ply1remlem  26224  fta1blem  26230  idomrootle  26232  plypf1  26271  efabl  26610  efsubm  26611  amgm  27052  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  dchrelbas2  27299  dchrelbas3  27300  dchrzrhmul  27308  dchrmulcl  27311  dchrn0  27312  dchrinvcl  27315  dchrfi  27317  dchrsum2  27330  sum2dchr  27336  lgsqrlem1  27408  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsqrlem4  27411  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  dchrisum0flblem1  27570  cntrcrng  33046  psgnid  33090  cnmsgn0g  33139  altgnsg  33142  urpropd  33212  isunit3  33221  0ringcring  33224  erlbr2d  33236  erler  33237  rlocaddval  33240  rlocmulval  33241  rloccring  33242  rloc0g  33243  rloc1r  33244  rlocf1  33245  domnprodn0  33247  rrgsubm  33253  znfermltl  33359  unitprodclb  33382  elringlsm  33386  ringlsmss  33388  lsmsnpridl  33391  cringm4  33439  ssdifidlprm  33451  mxidlprm  33463  rprmdvdspow  33526  rprmdvdsprod  33527  1arithidomlem1  33528  1arithidom  33530  1arithufdlem1  33537  1arithufdlem2  33538  1arithufdlem3  33539  1arithufdlem4  33540  dfufd2lem  33542  zringfrac  33547  evl1deg1  33566  evl1deg2  33567  evl1deg3  33568  coe1vr1  33578  deg1vr  33579  gsummoncoe1fzo  33583  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  assarrginv  33649  evls1fldgencl  33680  rtelextdg2lem  33717  2sqr3minply  33738  mdetpmtr1  33769  iistmd  33848  xrge0iifmhm  33885  xrge0pluscn  33886  pl1cn  33901  aks6d1c1p2  42066  aks6d1c1p3  42067  aks6d1c1p4  42068  aks6d1c1p5  42069  aks6d1c1p7  42070  aks6d1c1p6  42071  aks6d1c1p8  42072  aks6d1c1  42073  evl1gprodd  42074  aks6d1c2lem4  42084  idomnnzpownz  42089  idomnnzgmulnz  42090  ringexp0nn  42091  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  aks6d1c5  42096  deg1gprod  42097  deg1pow  42098  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem3  42129  aks5lem2  42144  aks5lem3a  42146  unitscyglem5  42156  aks5lem7  42157  domnexpgn0cl  42478  abvexp  42487  fidomncyc  42490  pwsgprod  42499  evlsvvvallem  42516  evlsvvval  42518  evlsexpval  42522  selvvvval  42540  evlselv  42542  mhphf  42552  hbtlem4  43083  mon1psubm  43160  deg1mhm  43161  amgm2d  44160  amgm3d  44161  amgm4d  44162  2zrngmmgm  47975  2zrngmsgrp  47976  2zrngnring  47981  cznrng  47984  cznnring  47985  mgpsumunsn  48086  mgpsumz  48087  mgpsumn  48088  invginvrid  48092  ply1vr1smo  48111  ply1mulgsumlem4  48118  ply1mulgsum  48119  amgmlemALT  48897  amgmw2d  48898