Theorem mgpbas 20054

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 20052	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 17182	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17250	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 19282	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2752	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  mulGrpcmgp 20049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mgp 20050

This theorem is referenced by:  mgptopn  20057  mgpress  20059  prdsmgp  20060  rngass  20068  rngcl  20073  isrngd  20082  rngpropd  20083  dfur2  20093  srgcl  20102  srgass  20103  srgideu  20104  srgidcl  20108  srgidmlem  20110  issrgid  20113  srg1zr  20124  srgpcomp  20127  srgpcompp  20128  srgpcomppsc  20129  srgbinomlem1  20135  srgbinomlem4  20138  srgbinomlem  20139  srgbinom  20140  csrgbinom  20141  ringcl  20159  crngcom  20160  iscrng2  20161  ringass  20162  ringideu  20163  crngbascntr  20165  ringidcl  20174  ringidmlem  20177  isringid  20180  ringidss  20186  isringrng  20196  ringpropd  20197  crngpropd  20198  isringd  20200  iscrngd  20201  ring1  20219  gsummgp0  20227  pwspjmhmmgpd  20237  pwsexpg  20238  xpsring1d  20242  oppr1  20259  unitgrpbas  20291  unitsubm  20295  rngidpropd  20324  isrnghmmul  20351  rnghmf1o  20361  idrnghm  20367  dfrhm2  20383  rhmmul  20395  isrhm2d  20396  idrhm  20399  rhmf1o  20400  pwsco1rhm  20411  pwsco2rhm  20412  c0rhm  20443  c0rnghm  20444  rhmimasubrnglem  20474  rhmimasubrng  20475  cntzsubrng  20476  subrgsubm  20494  issubrg3  20509  cntzsubr  20515  pwsdiagrhm  20516  rhmpropd  20518  isdomn3  20624  isdrng2  20652  drngmclOLD  20660  drngid2  20661  isdrngd  20674  isdrngdOLD  20676  subrgacs  20709  cntzsdrg  20711  subdrgint  20712  primefld  20714  rlmscaf  21114  rnglidlmmgm  21155  rnglidlmsgrp  21156  rng2idl1cntr  21215  xrsmcmn  21303  cnfldexp  21316  cnmsubglem  21347  expmhm  21353  nn0srg  21354  rge0srg  21355  expghm  21385  fermltlchr  21439  freshmansdream  21484  frobrhm  21485  cnmsgnbas  21487  sraassab  21777  sraassaOLD  21779  assamulgscmlem1  21808  assamulgscmlem2  21809  psrcrng  21881  mplcoe3  21945  mplcoe5lem  21946  mplcoe5  21947  mplbas2  21949  evlslem3  21987  evlslem6  21988  evlslem1  21989  evlsgsummul  21999  evlspw  22000  mpfind  22014  mhppwdeg  22037  psdpw  22057  ply1moncl  22157  coe1tm  22159  coe1pwmul  22165  ply1scltm  22167  ply1idvr1  22181  ply1coefsupp  22184  ply1coe  22185  gsummoncoe1  22195  lply1binomsc  22198  ply1fermltlchr  22199  evls1gsummul  22212  evls1pw  22213  evl1expd  22232  evl1gsummul  22247  evl1scvarpw  22250  evl1scvarpwval  22251  evl1gsummon  22252  evls1fpws  22256  rhmply1mon  22276  ringvcl  22287  mamuvs2  22293  matgsumcl  22347  madetsmelbas  22351  madetsmelbas2  22352  mat1mhm  22371  scmatmhm  22421  mdetleib2  22475  mdetf  22482  m1detdiag  22484  mdetdiaglem  22485  mdetdiag  22486  mdetdiagid  22487  mdetrlin  22489  mdetrsca  22490  mdetralt  22495  mdetunilem7  22505  mdetunilem8  22506  mdetuni0  22508  m2detleiblem2  22515  m2detleiblem3  22516  m2detleiblem4  22517  smadiadetlem4  22556  mat2pmatmhm  22620  pmatcollpwscmatlem1  22676  mply1topmatcllem  22690  mply1topmatcl  22692  pm2mpghm  22703  pm2mpmhm  22707  monmat2matmon  22711  pm2mp  22712  chpscmat  22729  chpscmatgsumbin  22731  chpscmatgsummon  22732  chp0mat  22733  chpidmat  22734  chfacfscmulcl  22744  chfacfscmul0  22745  chfacfscmulgsum  22747  chfacfpmmulcl  22748  chfacfpmmul0  22749  chfacfpmmulgsum  22751  chfacfpmmulgsum2  22752  cayhamlem1  22753  cpmadugsumlemB  22761  cpmadugsumlemC  22762  cpmadugsumlemF  22763  cayhamlem2  22771  cayhamlem4  22775  nrgtrg  24578  deg1pw  26026  ply1remlem  26070  fta1blem  26076  idomrootle  26078  plypf1  26117  efabl  26459  efsubm  26460  amgm  26901  wilthlem2  26979  wilthlem3  26980  dchrelbas2  27148  dchrelbas3  27149  dchrzrhmul  27157  dchrmulcl  27160  dchrn0  27161  dchrinvcl  27164  dchrfi  27166  dchrsum2  27179  sum2dchr  27185  lgsqrlem1  27257  lgsqrlem2  27258  lgsqrlem3  27259  lgsqrlem4  27260  lgseisenlem3  27288  lgseisenlem4  27289  dchrisum0flblem1  27419  cntrcrng  33010  psgnid  33054  cnmsgn0g  33103  altgnsg  33106  urpropd  33183  isunit3  33192  elrgspnlem1  33193  elrgspnlem2  33194  elrgspnlem3  33195  elrgspnlem4  33196  elrgspn  33197  elrgspnsubrunlem1  33198  elrgspnsubrunlem2  33199  0ringcring  33203  erlbr2d  33215  erler  33216  rlocaddval  33219  rlocmulval  33220  rloccring  33221  rloc0g  33222  rloc1r  33223  rlocf1  33224  domnprodn0  33226  rrgsubm  33234  znfermltl  33337  unitprodclb  33360  elringlsm  33364  ringlsmss  33366  lsmsnpridl  33369  cringm4  33417  ssdifidlprm  33429  mxidlprm  33441  rprmdvdspow  33504  rprmdvdsprod  33505  1arithidomlem1  33506  1arithidom  33508  1arithufdlem1  33515  1arithufdlem2  33516  1arithufdlem3  33517  1arithufdlem4  33518  dfufd2lem  33520  zringfrac  33525  ressply1evls1  33534  evl1deg1  33545  evl1deg2  33546  evl1deg3  33547  coe1vr1  33557  deg1vr  33558  gsummoncoe1fzo  33563  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  assarrginv  33632  evls1fldgencl  33665  rtelextdg2lem  33716  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem6  33777  cos9thpiminply  33778  mdetpmtr1  33813  iistmd  33892  xrge0iifmhm  33929  xrge0pluscn  33930  pl1cn  33945  zrhcntr  33969  aks6d1c1p2  42097  aks6d1c1p3  42098  aks6d1c1p4  42099  aks6d1c1p5  42100  aks6d1c1p7  42101  aks6d1c1p6  42102  aks6d1c1p8  42103  aks6d1c1  42104  evl1gprodd  42105  aks6d1c2lem4  42115  idomnnzpownz  42120  idomnnzgmulnz  42121  ringexp0nn  42122  aks6d1c5lem0  42123  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  aks6d1c5  42127  deg1gprod  42128  deg1pow  42129  aks6d1c6lem1  42158  aks6d1c6lem2  42159  aks6d1c6lem3  42160  aks5lem2  42175  aks5lem3a  42177  unitscyglem5  42187  aks5lem7  42188  domnexpgn0cl  42511  abvexp  42520  fidomncyc  42523  pwsgprod  42532  evlsvvvallem  42549  evlsvvval  42551  evlsexpval  42555  selvvvval  42573  evlselv  42575  mhphf  42585  hbtlem4  43115  mon1psubm  43188  deg1mhm  43189  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  2zrngmmgm  48240  2zrngmsgrp  48241  2zrngnring  48246  cznrng  48249  cznnring  48250  mgpsumunsn  48349  mgpsumz  48350  mgpsumn  48351  invginvrid  48355  ply1vr1smo  48371  ply1mulgsumlem4  48378  ply1mulgsum  48379  elmgpcntrd  48993  amgmlemALT  49792  amgmw2d  49793