Theorem mgpbas 20064

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 20062	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 17123	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17191	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 19263	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2754	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1541  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  mulGrpcmgp 20059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mgp 20060

This theorem is referenced by:  mgptopn  20067  mgpress  20069  prdsmgp  20070  rngass  20078  rngcl  20083  isrngd  20092  rngpropd  20093  dfur2  20103  srgcl  20112  srgass  20113  srgideu  20114  srgidcl  20118  srgidmlem  20120  issrgid  20123  srg1zr  20134  srgpcomp  20137  srgpcompp  20138  srgpcomppsc  20139  srgbinomlem1  20145  srgbinomlem4  20148  srgbinomlem  20149  srgbinom  20150  csrgbinom  20151  ringcl  20169  crngcom  20170  iscrng2  20171  ringass  20172  ringideu  20173  crngbascntr  20175  ringidcl  20184  ringidmlem  20187  isringid  20190  ringidss  20196  isringrng  20206  ringpropd  20207  crngpropd  20208  isringd  20210  iscrngd  20211  ring1  20229  gsummgp0  20237  pwspjmhmmgpd  20247  pwsexpg  20248  xpsring1d  20252  oppr1  20269  unitgrpbas  20301  unitsubm  20305  rngidpropd  20334  isrnghmmul  20361  rnghmf1o  20371  idrnghm  20377  dfrhm2  20393  rhmmul  20404  isrhm2d  20405  idrhm  20408  rhmf1o  20409  pwsco1rhm  20418  pwsco2rhm  20419  c0rhm  20450  c0rnghm  20451  rhmimasubrnglem  20481  rhmimasubrng  20482  cntzsubrng  20483  subrgsubm  20501  issubrg3  20516  cntzsubr  20522  pwsdiagrhm  20523  rhmpropd  20525  isdomn3  20631  isdrng2  20659  drngmclOLD  20667  drngid2  20668  isdrngd  20681  isdrngdOLD  20683  subrgacs  20716  cntzsdrg  20718  subdrgint  20719  primefld  20721  rlmscaf  21142  rnglidlmmgm  21183  rnglidlmsgrp  21184  rng2idl1cntr  21243  xrsmcmn  21329  cnfldexp  21342  cnmsubglem  21368  expmhm  21374  nn0srg  21375  rge0srg  21376  expghm  21413  fermltlchr  21467  freshmansdream  21512  frobrhm  21513  cnmsgnbas  21516  sraassab  21806  sraassaOLD  21808  assamulgscmlem1  21837  assamulgscmlem2  21838  psrcrng  21910  mplcoe3  21974  mplcoe5lem  21975  mplcoe5  21976  mplbas2  21978  evlslem3  22016  evlslem6  22017  evlslem1  22018  evlsgsummul  22028  evlspw  22029  mpfind  22043  mhppwdeg  22066  psdpw  22086  ply1moncl  22186  coe1tm  22188  coe1pwmul  22194  ply1scltm  22196  ply1idvr1  22210  ply1coefsupp  22213  ply1coe  22214  gsummoncoe1  22224  lply1binomsc  22227  ply1fermltlchr  22228  evls1gsummul  22241  evls1pw  22242  evl1expd  22261  evl1gsummul  22276  evl1scvarpw  22279  evl1scvarpwval  22280  evl1gsummon  22281  evls1fpws  22285  rhmply1mon  22305  ringvcl  22316  mamuvs2  22322  matgsumcl  22376  madetsmelbas  22380  madetsmelbas2  22381  mat1mhm  22400  scmatmhm  22450  mdetleib2  22504  mdetf  22511  m1detdiag  22513  mdetdiaglem  22514  mdetdiag  22515  mdetdiagid  22516  mdetrlin  22518  mdetrsca  22519  mdetralt  22524  mdetunilem7  22534  mdetunilem8  22535  mdetuni0  22537  m2detleiblem2  22544  m2detleiblem3  22545  m2detleiblem4  22546  smadiadetlem4  22585  mat2pmatmhm  22649  pmatcollpwscmatlem1  22705  mply1topmatcllem  22719  mply1topmatcl  22721  pm2mpghm  22732  pm2mpmhm  22736  monmat2matmon  22740  pm2mp  22741  chpscmat  22758  chpscmatgsumbin  22760  chpscmatgsummon  22761  chp0mat  22762  chpidmat  22763  chfacfscmulcl  22773  chfacfscmul0  22774  chfacfscmulgsum  22776  chfacfpmmulcl  22777  chfacfpmmul0  22778  chfacfpmmulgsum  22780  chfacfpmmulgsum2  22781  cayhamlem1  22782  cpmadugsumlemB  22790  cpmadugsumlemC  22791  cpmadugsumlemF  22792  cayhamlem2  22800  cayhamlem4  22804  nrgtrg  24606  deg1pw  26054  ply1remlem  26098  fta1blem  26104  idomrootle  26106  plypf1  26145  efabl  26487  efsubm  26488  amgm  26929  wilthlem2  27007  wilthlem3  27008  dchrelbas2  27176  dchrelbas3  27177  dchrzrhmul  27185  dchrmulcl  27188  dchrn0  27189  dchrinvcl  27192  dchrfi  27194  dchrsum2  27207  sum2dchr  27213  lgsqrlem1  27285  lgsqrlem2  27286  lgsqrlem3  27287  lgsqrlem4  27288  lgseisenlem3  27316  lgseisenlem4  27317  dchrisum0flblem1  27447  zsoring  28333  cntrcrng  33048  psgnid  33064  cnmsgn0g  33113  altgnsg  33116  urpropd  33197  isunit3  33206  elrgspnlem1  33207  elrgspnlem2  33208  elrgspnlem3  33209  elrgspnlem4  33210  elrgspn  33211  elrgspnsubrunlem1  33212  elrgspnsubrunlem2  33213  0ringcring  33217  erlbr2d  33229  erler  33230  rlocaddval  33233  rlocmulval  33234  rloccring  33235  rloc0g  33236  rloc1r  33237  rlocf1  33238  domnprodn0  33240  rrgsubm  33248  znfermltl  33329  unitprodclb  33352  elringlsm  33356  ringlsmss  33358  lsmsnpridl  33361  cringm4  33409  ssdifidlprm  33421  mxidlprm  33433  rprmdvdspow  33496  rprmdvdsprod  33497  1arithidomlem1  33498  1arithidom  33500  1arithufdlem1  33507  1arithufdlem2  33508  1arithufdlem3  33509  1arithufdlem4  33510  dfufd2lem  33512  zringfrac  33517  ressply1evls1  33526  evl1deg1  33537  evl1deg2  33538  evl1deg3  33539  evls1monply1  33540  coe1vr1  33550  deg1vr  33551  gsummoncoe1fzo  33556  srapwov  33599  ply1degltdimlem  33633  ply1degltdim  33634  assarrginv  33647  evls1fldgencl  33681  extdgfialglem1  33703  extdgfialglem2  33704  rtelextdg2lem  33737  2sqr3minply  33791  cos9thpiminplylem6  33798  cos9thpiminply  33799  mdetpmtr1  33834  iistmd  33913  xrge0iifmhm  33950  xrge0pluscn  33951  pl1cn  33966  zrhcntr  33990  aks6d1c1p2  42148  aks6d1c1p3  42149  aks6d1c1p4  42150  aks6d1c1p5  42151  aks6d1c1p7  42152  aks6d1c1p6  42153  aks6d1c1p8  42154  aks6d1c1  42155  evl1gprodd  42156  aks6d1c2lem4  42166  idomnnzpownz  42171  idomnnzgmulnz  42172  ringexp0nn  42173  aks6d1c5lem0  42174  aks6d1c5lem3  42176  aks6d1c5lem2  42177  aks6d1c5  42178  deg1gprod  42179  deg1pow  42180  aks6d1c6lem1  42209  aks6d1c6lem2  42210  aks6d1c6lem3  42211  aks5lem2  42226  aks5lem3a  42228  unitscyglem5  42238  aks5lem7  42239  domnexpgn0cl  42562  abvexp  42571  fidomncyc  42574  pwsgprod  42583  evlsvvvallem  42600  evlsvvval  42602  evlsexpval  42606  selvvvval  42624  evlselv  42626  mhphf  42636  hbtlem4  43165  mon1psubm  43238  deg1mhm  43239  amgm2d  44237  amgm3d  44238  amgm4d  44239  2zrngmmgm  48289  2zrngmsgrp  48290  2zrngnring  48295  cznrng  48298  cznnring  48299  mgpsumunsn  48398  mgpsumz  48399  mgpsumn  48400  invginvrid  48404  ply1vr1smo  48420  ply1mulgsumlem4  48427  ply1mulgsum  48428  elmgpcntrd  49042  amgmlemALT  49841  amgmw2d  49842