Theorem mgpbas 20092

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 20090	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 17151	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17219	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 19291	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1542  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  mulGrpcmgp 20087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mgp 20088

This theorem is referenced by:  mgptopn  20095  mgpress  20097  prdsmgp  20098  rngass  20106  rngcl  20111  isrngd  20120  rngpropd  20121  dfur2  20131  srgcl  20140  srgass  20141  srgideu  20142  srgidcl  20146  srgidmlem  20148  issrgid  20151  srg1zr  20162  srgpcomp  20165  srgpcompp  20166  srgpcomppsc  20167  srgbinomlem1  20173  srgbinomlem4  20176  srgbinomlem  20177  srgbinom  20178  csrgbinom  20179  ringcl  20197  crngcom  20198  iscrng2  20199  ringass  20200  ringideu  20201  crngbascntr  20203  ringidcl  20212  ringidmlem  20215  isringid  20218  ringidss  20224  isringrng  20234  ringpropd  20235  crngpropd  20236  isringd  20238  iscrngd  20239  ring1  20257  gsummgp0  20265  pwspjmhmmgpd  20275  pwsexpg  20276  pwsgprod  20277  xpsring1d  20281  oppr1  20298  unitgrpbas  20330  unitsubm  20334  rngidpropd  20363  isrnghmmul  20390  rnghmf1o  20400  idrnghm  20406  dfrhm2  20422  rhmmul  20433  isrhm2d  20434  idrhm  20437  rhmf1o  20438  pwsco1rhm  20447  pwsco2rhm  20448  c0rhm  20479  c0rnghm  20480  rhmimasubrnglem  20510  rhmimasubrng  20511  cntzsubrng  20512  subrgsubm  20530  issubrg3  20545  cntzsubr  20551  pwsdiagrhm  20552  rhmpropd  20554  isdomn3  20660  isdrng2  20688  drngmclOLD  20696  drngid2  20697  isdrngd  20710  isdrngdOLD  20712  subrgacs  20745  cntzsdrg  20747  subdrgint  20748  primefld  20750  rlmscaf  21171  rnglidlmmgm  21212  rnglidlmsgrp  21213  rng2idl1cntr  21272  xrsmcmn  21358  cnfldexp  21371  cnmsubglem  21397  expmhm  21403  nn0srg  21404  rge0srg  21405  expghm  21442  fermltlchr  21496  freshmansdream  21541  frobrhm  21542  cnmsgnbas  21545  sraassab  21835  sraassaOLD  21837  assamulgscmlem1  21867  assamulgscmlem2  21868  psrcrng  21939  mplcoe3  22005  mplcoe5lem  22006  mplcoe5  22007  mplbas2  22009  evlslem3  22047  evlslem6  22048  evlslem1  22049  evlsvvvallem  22058  evlsvvval  22060  evlsgsummul  22064  evlspw  22065  mpfind  22082  mhppwdeg  22105  psdpw  22125  ply1moncl  22225  coe1tm  22227  coe1pwmul  22233  ply1scltm  22235  ply1idvr1  22250  ply1coefsupp  22253  ply1coe  22254  gsummoncoe1  22264  lply1binomsc  22267  ply1fermltlchr  22268  evls1gsummul  22281  evls1pw  22282  evl1expd  22301  evl1gsummul  22316  evl1scvarpw  22319  evl1scvarpwval  22320  evl1gsummon  22321  evls1fpws  22325  rhmply1mon  22345  ringvcl  22356  mamuvs2  22362  matgsumcl  22416  madetsmelbas  22420  madetsmelbas2  22421  mat1mhm  22440  scmatmhm  22490  mdetleib2  22544  mdetf  22551  m1detdiag  22553  mdetdiaglem  22554  mdetdiag  22555  mdetdiagid  22556  mdetrlin  22558  mdetrsca  22559  mdetralt  22564  mdetunilem7  22574  mdetunilem8  22575  mdetuni0  22577  m2detleiblem2  22584  m2detleiblem3  22585  m2detleiblem4  22586  smadiadetlem4  22625  mat2pmatmhm  22689  pmatcollpwscmatlem1  22745  mply1topmatcllem  22759  mply1topmatcl  22761  pm2mpghm  22772  pm2mpmhm  22776  monmat2matmon  22780  pm2mp  22781  chpscmat  22798  chpscmatgsumbin  22800  chpscmatgsummon  22801  chp0mat  22802  chpidmat  22803  chfacfscmulcl  22813  chfacfscmul0  22814  chfacfscmulgsum  22816  chfacfpmmulcl  22817  chfacfpmmul0  22818  chfacfpmmulgsum  22820  chfacfpmmulgsum2  22821  cayhamlem1  22822  cpmadugsumlemB  22830  cpmadugsumlemC  22831  cpmadugsumlemF  22832  cayhamlem2  22840  cayhamlem4  22844  nrgtrg  24646  deg1pw  26094  ply1remlem  26138  fta1blem  26144  idomrootle  26146  plypf1  26185  efabl  26527  efsubm  26528  amgm  26969  wilthlem2  27047  wilthlem3  27048  dchrelbas2  27216  dchrelbas3  27217  dchrzrhmul  27225  dchrmulcl  27228  dchrn0  27229  dchrinvcl  27232  dchrfi  27234  dchrsum2  27247  sum2dchr  27253  lgsqrlem1  27325  lgsqrlem2  27326  lgsqrlem3  27327  lgsqrlem4  27328  lgseisenlem3  27356  lgseisenlem4  27357  dchrisum0flblem1  27487  zsoring  28417  cntrcrng  33174  psgnid  33190  cnmsgn0g  33239  altgnsg  33242  urpropd  33324  ringm1expp1  33327  isunit3  33334  elrgspnlem1  33335  elrgspnlem2  33336  elrgspnlem3  33337  elrgspnlem4  33338  elrgspn  33339  elrgspnsubrunlem1  33340  elrgspnsubrunlem2  33341  0ringcring  33345  erlbr2d  33357  erler  33358  rlocaddval  33361  rlocmulval  33362  rloccring  33363  rloc0g  33364  rloc1r  33365  rlocf1  33366  domnprodn0  33368  domnprodeq0  33369  rrgsubm  33377  znfermltl  33458  unitprodclb  33481  elringlsm  33485  ringlsmss  33487  lsmsnpridl  33490  cringm4  33538  ssdifidlprm  33550  mxidlprm  33562  rprmdvdspow  33625  rprmdvdsprod  33626  1arithidomlem1  33627  1arithidom  33629  1arithufdlem1  33636  1arithufdlem2  33637  1arithufdlem3  33638  1arithufdlem4  33639  dfufd2lem  33641  zringfrac  33646  ressply1evls1  33657  evl1deg1  33668  evl1deg2  33669  evl1deg3  33670  evls1monply1  33671  deg1prod  33675  ply1coedeg  33681  coe1vr1  33683  deg1vr  33684  gsummoncoe1fzo  33689  evlextv  33718  psrmonprod  33728  mplmonprod  33730  vietalem  33755  vieta  33756  srapwov  33765  ply1degltdimlem  33799  ply1degltdim  33800  assarrginv  33813  evls1fldgencl  33847  extdgfialglem1  33869  extdgfialglem2  33870  rtelextdg2lem  33903  2sqr3minply  33957  cos9thpiminplylem6  33964  cos9thpiminply  33965  mdetpmtr1  34000  iistmd  34079  xrge0iifmhm  34116  xrge0pluscn  34117  pl1cn  34132  zrhcntr  34156  aks6d1c1p2  42476  aks6d1c1p3  42477  aks6d1c1p4  42478  aks6d1c1p5  42479  aks6d1c1p7  42480  aks6d1c1p6  42481  aks6d1c1p8  42482  aks6d1c1  42483  evl1gprodd  42484  aks6d1c2lem4  42494  idomnnzpownz  42499  idomnnzgmulnz  42500  ringexp0nn  42501  aks6d1c5lem0  42502  aks6d1c5lem3  42504  aks6d1c5lem2  42505  aks6d1c5  42506  deg1gprod  42507  deg1pow  42508  aks6d1c6lem1  42537  aks6d1c6lem2  42538  aks6d1c6lem3  42539  aks5lem2  42554  aks5lem3a  42556  unitscyglem5  42566  aks5lem7  42567  domnexpgn0cl  42890  abvexp  42899  fidomncyc  42902  evlsexpval  42925  selvvvval  42940  evlselv  42942  mhphf  42952  hbtlem4  43480  mon1psubm  43553  deg1mhm  43554  amgm2d  44551  amgm3d  44552  amgm4d  44553  2zrngmmgm  48609  2zrngmsgrp  48610  2zrngnring  48615  cznrng  48618  cznnring  48619  mgpsumunsn  48718  mgpsumz  48719  mgpsumn  48720  invginvrid  48724  ply1vr1smo  48740  ply1mulgsumlem4  48746  ply1mulgsum  48747  elmgpcntrd  49361  amgmlemALT  50159  amgmw2d  50160