Theorem mgpbas 20142

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	mgpval 20140	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
5		baseid 17250	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		basendxnplusgndx 17327	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	4, 5, 6	setsplusg 19368	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
8	1, 7	eqtri 2765	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  mulGrpcmgp 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgp 20138

This theorem is referenced by:  mgptopn  20145  mgpress  20147  prdsmgp  20148  rngass  20156  rngcl  20161  isrngd  20170  rngpropd  20171  dfur2  20181  srgcl  20190  srgass  20191  srgideu  20192  srgidcl  20196  srgidmlem  20198  issrgid  20201  srg1zr  20212  srgpcomp  20215  srgpcompp  20216  srgpcomppsc  20217  srgbinomlem1  20223  srgbinomlem4  20226  srgbinomlem  20227  srgbinom  20228  csrgbinom  20229  ringcl  20247  crngcom  20248  iscrng2  20249  ringass  20250  ringideu  20251  crngbascntr  20253  ringidcl  20262  ringidmlem  20265  isringid  20268  ringidss  20274  isringrng  20284  ringpropd  20285  crngpropd  20286  isringd  20288  iscrngd  20289  ring1  20307  gsummgp0  20315  pwspjmhmmgpd  20325  pwsexpg  20326  xpsring1d  20330  oppr1  20350  unitgrpbas  20382  unitsubm  20386  rngidpropd  20415  isrnghmmul  20442  rnghmf1o  20452  idrnghm  20458  dfrhm2  20474  rhmmul  20486  isrhm2d  20487  idrhm  20490  rhmf1o  20491  pwsco1rhm  20502  pwsco2rhm  20503  c0rhm  20534  c0rnghm  20535  rhmimasubrnglem  20565  rhmimasubrng  20566  cntzsubrng  20567  subrgsubm  20585  issubrg3  20600  cntzsubr  20606  pwsdiagrhm  20607  rhmpropd  20609  isdomn3  20715  isdrng2  20743  drngmclOLD  20751  drngid2  20752  isdrngd  20765  isdrngdOLD  20767  subrgacs  20801  cntzsdrg  20803  subdrgint  20804  primefld  20806  rlmscaf  21214  rnglidlmmgm  21255  rnglidlmsgrp  21256  rng2idl1cntr  21315  xrsmcmn  21404  cnfldexp  21417  cnmsubglem  21448  expmhm  21454  nn0srg  21455  rge0srg  21456  expghm  21486  fermltlchr  21544  freshmansdream  21593  frobrhm  21594  cnmsgnbas  21596  sraassab  21888  sraassaOLD  21890  assamulgscmlem1  21919  assamulgscmlem2  21920  psrcrng  21992  mplcoe3  22056  mplcoe5lem  22057  mplcoe5  22058  mplbas2  22060  evlslem3  22104  evlslem6  22105  evlslem1  22106  evlsgsummul  22116  evlspw  22117  mpfind  22131  mhppwdeg  22154  psdpw  22174  ply1moncl  22274  coe1tm  22276  coe1pwmul  22282  ply1scltm  22284  ply1idvr1  22298  ply1coefsupp  22301  ply1coe  22302  gsummoncoe1  22312  lply1binomsc  22315  ply1fermltlchr  22316  evls1gsummul  22329  evls1pw  22330  evl1expd  22349  evl1gsummul  22364  evl1scvarpw  22367  evl1scvarpwval  22368  evl1gsummon  22369  evls1fpws  22373  rhmply1mon  22393  ringvcl  22404  mamuvs2  22410  matgsumcl  22466  madetsmelbas  22470  madetsmelbas2  22471  mat1mhm  22490  scmatmhm  22540  mdetleib2  22594  mdetf  22601  m1detdiag  22603  mdetdiaglem  22604  mdetdiag  22605  mdetdiagid  22606  mdetrlin  22608  mdetrsca  22609  mdetralt  22614  mdetunilem7  22624  mdetunilem8  22625  mdetuni0  22627  m2detleiblem2  22634  m2detleiblem3  22635  m2detleiblem4  22636  smadiadetlem4  22675  mat2pmatmhm  22739  pmatcollpwscmatlem1  22795  mply1topmatcllem  22809  mply1topmatcl  22811  pm2mpghm  22822  pm2mpmhm  22826  monmat2matmon  22830  pm2mp  22831  chpscmat  22848  chpscmatgsumbin  22850  chpscmatgsummon  22851  chp0mat  22852  chpidmat  22853  chfacfscmulcl  22863  chfacfscmul0  22864  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulcl  22867  chfacfpmmul0  22868  chfacfpmmulgsum  22870  chfacfpmmulgsum2  22871  cayhamlem1  22872  cpmadugsumlemB  22880  cpmadugsumlemC  22881  cpmadugsumlemF  22882  cayhamlem2  22890  cayhamlem4  22894  nrgtrg  24711  deg1pw  26160  ply1remlem  26204  fta1blem  26210  idomrootle  26212  plypf1  26251  efabl  26592  efsubm  26593  amgm  27034  wilthlem2  27112  wilthlem3  27113  dchrelbas2  27281  dchrelbas3  27282  dchrzrhmul  27290  dchrmulcl  27293  dchrn0  27294  dchrinvcl  27297  dchrfi  27299  dchrsum2  27312  sum2dchr  27318  lgsqrlem1  27390  lgsqrlem2  27391  lgsqrlem3  27392  lgsqrlem4  27393  lgseisenlem3  27421  lgseisenlem4  27422  dchrisum0flblem1  27552  cntrcrng  33073  psgnid  33117  cnmsgn0g  33166  altgnsg  33169  urpropd  33236  isunit3  33245  elrgspnlem1  33246  elrgspnlem2  33247  elrgspnlem3  33248  elrgspnlem4  33249  elrgspn  33250  elrgspnsubrunlem1  33251  elrgspnsubrunlem2  33252  0ringcring  33256  erlbr2d  33268  erler  33269  rlocaddval  33272  rlocmulval  33273  rloccring  33274  rloc0g  33275  rloc1r  33276  rlocf1  33277  domnprodn0  33279  rrgsubm  33287  znfermltl  33394  unitprodclb  33417  elringlsm  33421  ringlsmss  33423  lsmsnpridl  33426  cringm4  33474  ssdifidlprm  33486  mxidlprm  33498  rprmdvdspow  33561  rprmdvdsprod  33562  1arithidomlem1  33563  1arithidom  33565  1arithufdlem1  33572  1arithufdlem2  33573  1arithufdlem3  33574  1arithufdlem4  33575  dfufd2lem  33577  zringfrac  33582  evl1deg1  33601  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  coe1vr1  33613  deg1vr  33614  gsummoncoe1fzo  33618  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  assarrginv  33687  evls1fldgencl  33720  rtelextdg2lem  33767  2sqr3minply  33791  mdetpmtr1  33822  iistmd  33901  xrge0iifmhm  33938  xrge0pluscn  33939  pl1cn  33954  zrhcntr  33980  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c1p4  42112  aks6d1c1p5  42113  aks6d1c1p7  42114  aks6d1c1p6  42115  aks6d1c1p8  42116  aks6d1c1  42117  evl1gprodd  42118  aks6d1c2lem4  42128  idomnnzpownz  42133  idomnnzgmulnz  42134  ringexp0nn  42135  aks6d1c5lem0  42136  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  aks6d1c5  42140  deg1gprod  42141  deg1pow  42142  aks6d1c6lem1  42171  aks6d1c6lem2  42172  aks6d1c6lem3  42173  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190  unitscyglem5  42200  aks5lem7  42201  domnexpgn0cl  42533  abvexp  42542  fidomncyc  42545  pwsgprod  42554  evlsvvvallem  42571  evlsvvval  42573  evlsexpval  42577  selvvvval  42595  evlselv  42597  mhphf  42607  hbtlem4  43138  mon1psubm  43211  deg1mhm  43212  amgm2d  44211  amgm3d  44212  amgm4d  44213  2zrngmmgm  48168  2zrngmsgrp  48169  2zrngnring  48174  cznrng  48177  cznnring  48178  mgpsumunsn  48277  mgpsumz  48278  mgpsumn  48279  invginvrid  48283  ply1vr1smo  48299  ply1mulgsumlem4  48306  ply1mulgsum  48307  elmgpcntrd  48894  amgmlemALT  49322  amgmw2d  49323