Theorem setsv 44830

Description: The value of the structure replacement function is a set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsv	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 16868	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2		resexg 5937	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
3		snex 5354	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
5		unexg 7599	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2an2r 682	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885  {csn 4561  ⟨cop 4567   ↾ cres 5591  (class class class)co 7275   sSet csts 16864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-sets 16865

This theorem is referenced by: (None)