Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setsv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsv 43673
Description: The value of the structure replacement function is a set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsv ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsv
StepHypRef Expression
1 setsval 16489 . 2 ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2 resexg 5872 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
3 snex 5306 . . . 4 {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
5 unexg 7448 . . 3 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
62, 4, 5syl2an2r 683 . 2 ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
71, 6eqeltrd 2911 1 ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  Vcvv 3473  cdif 3909  cun 3910  {csn 4541  cop 4547  cres 5531  (class class class)co 7131   sSet csts 16457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-id 5434  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-res 5541  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fv 6337  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-sets 16466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator