Theorem setsv 48599

Description: The value of the structure replacement function is a set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsv	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17357	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2		resexg 6021	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
3		snex 5400	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
5		unexg 7767	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∖ cdif 4047   ∪ cun 4151  {csn 4587  ⟨cop 4837   ↾ cres 5656  (class class class)co 7427   sSet csts 17353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-res 5666  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-sets 17354

This theorem is used by: (None)