Theorem sgndm 15136

Description: The domain of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgndm	⊢ dom sgn = ℝ*

Proof of Theorem sgndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11203	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
2		negex 11458	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
3		1ex 11206	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	ifex 4543	. . 3 ⊢ if(𝑥 < 0, -1, 1) ∈ V
5	1, 4	ifex 4543	. 2 ⊢ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ V
6		df-sgn 15127	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
7	5, 6	dmmpti 6683	1 ⊢ dom sgn = ℝ*

Syntax hints:   = wceq 1568  ifcif 4492   class class class wbr 5114  dom cdm 5665  0cc0 11103  1c1 11104  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246  -cneg 11445  sgncsgn 15126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-mulcl 11165  ax-i2m1 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-ov 7417  df-neg 11447  df-sgn 15127

This theorem is referenced by:  sgnfo  15139