Theorem sgndm 15157

Description: The domain of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgndm	⊢ dom sgn = ℝ*

Proof of Theorem sgndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11215	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
2		negex 11470	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
3		1ex 11218	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	ifex 4540	. . 3 ⊢ if(𝑥 < 0, -1, 1) ∈ V
5	1, 4	ifex 4540	. 2 ⊢ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ V
6		df-sgn 15148	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
7	5, 6	dmmpti 6683	1 ⊢ dom sgn = ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ifcif 4489   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  0cc0 11115  1c1 11116  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258  -cneg 11457  sgncsgn 15147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-mulcl 11177  ax-i2m1 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-ov 7422  df-neg 11459  df-sgn 15148

This theorem is used by:  sgnfo  15160