Theorem sgndm 15129

Description: The domain of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgndm	⊢ dom sgn = ℝ*

Proof of Theorem sgndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11195	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
2		negex 11450	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
3		1ex 11198	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	ifex 4538	. . 3 ⊢ if(𝑥 < 0, -1, 1) ∈ V
5	1, 4	ifex 4538	. 2 ⊢ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ V
6		df-sgn 15120	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
7	5, 6	dmmpti 6679	1 ⊢ dom sgn = ℝ*

Syntax hints:   = wceq 1570  ifcif 4487   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  0cc0 11095  1c1 11096  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  -cneg 11437  sgncsgn 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-mulcl 11157  ax-i2m1 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544  df-ov 7413  df-neg 11439  df-sgn 15120

This theorem is referenced by:  sgnfo  15132