Theorem sgndm 15132

Description: The domain of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgndm	⊢ dom sgn = ℝ*

Proof of Theorem sgndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11199	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
2		negex 11454	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
3		1ex 11202	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	ifex 4543	. . 3 ⊢ if(𝑥 < 0, -1, 1) ∈ V
5	1, 4	ifex 4543	. 2 ⊢ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ V
6		df-sgn 15123	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
7	5, 6	dmmpti 6680	1 ⊢ dom sgn = ℝ*

Syntax hints:   = wceq 1567  ifcif 4492   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  0cc0 11099  1c1 11100  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  -cneg 11441  sgncsgn 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-mulcl 11161  ax-i2m1 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-ov 7414  df-neg 11443  df-sgn 15123

This theorem is referenced by:  sgnfo  15135