Theorem sgndm 15109

Description: The domain of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgndm	⊢ dom sgn = ℝ*

Proof of Theorem sgndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11173	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
2		negex 11428	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
3		1ex 11176	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	ifex 4531	. . 3 ⊢ if(𝑥 < 0, -1, 1) ∈ V
5	1, 4	ifex 4531	. 2 ⊢ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ V
6		df-sgn 15100	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
7	5, 6	dmmpti 6665	1 ⊢ dom sgn = ℝ*

Syntax hints:   = wceq 1560  ifcif 4480   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  0cc0 11073  1c1 11074  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216  -cneg 11415  sgncsgn 15099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-mulcl 11135  ax-i2m1 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-fv 6529  df-ov 7399  df-neg 11417  df-sgn 15100

This theorem is referenced by:  sgnfo  15112