Theorem sgnfo 15160

Description: The signum function as onto function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnfo	⊢ sgn:ℝ*–onto→{-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15148	. . . 4 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	funmpt2 6579	. . 3 ⊢ Fun sgn
3		sgndm 15157	. . 3 ⊢ dom sgn = ℝ*
4		df-fn 6543	. . 3 ⊢ (sgn Fn ℝ* ↔ (Fun sgn ∧ dom sgn = ℝ*))
5	2, 3, 4	mpbir2an 724	. 2 ⊢ sgn Fn ℝ*
6		sgnrn 15159	. 2 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}
7		df-fo 6546	. 2 ⊢ (sgn:ℝ*–onto→{-1, 0, 1} ↔ (sgn Fn ℝ* ∧ ran sgn = {-1, 0, 1}))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ sgn:ℝ*–onto→{-1, 0, 1}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ifcif 4489  {ctp 4595   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ran crn 5664  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  –onto→wfo 6538  0cc0 11115  1c1 11116  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258  -cneg 11457  sgncsgn 15147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-sgn 15148

This theorem is used by: (None)