Theorem sgnfo 15112

Description: The signum function as onto function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnfo	⊢ sgn:ℝ*–onto→{-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15100	. . . 4 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	funmpt2 6560	. . 3 ⊢ Fun sgn
3		sgndm 15109	. . 3 ⊢ dom sgn = ℝ*
4		df-fn 6524	. . 3 ⊢ (sgn Fn ℝ* ↔ (Fun sgn ∧ dom sgn = ℝ*))
5	2, 3, 4	mpbir2an 721	. 2 ⊢ sgn Fn ℝ*
6		sgnrn 15111	. 2 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}
7		df-fo 6527	. 2 ⊢ (sgn:ℝ*–onto→{-1, 0, 1} ↔ (sgn Fn ℝ* ∧ ran sgn = {-1, 0, 1}))
8	5, 6, 7	mpbir2an 721	1 ⊢ sgn:ℝ*–onto→{-1, 0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1560  ifcif 4480  {ctp 4586   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ran crn 5648  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  –onto→wfo 6519  0cc0 11073  1c1 11074  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216  -cneg 11415  sgncsgn 15099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-sgn 15100

This theorem is referenced by: (None)