Theorem sgncl 32795

Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgncl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
2	1	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3		sgn0 15015	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5		c0ex 11128	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	tpid2 4724	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
7	4, 6	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8		sgnn 15020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9		negex 11380	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
10	9	tpid1 4722	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
11	8, 10	eqeltrdi 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
12	11	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13		sgnp 15016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14		1ex 11130	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid3 4727	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
16	13, 15	eqeltrdi 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
17	16	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18		0xr 11181	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19		xrlttri2 13063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
20	19	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
21	18, 20	mpanl2 701	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
22	12, 17, 21	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
23	7, 22	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {ctp 4583   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  0cc0 11028  1c1 11029  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  -cneg 11367  sgncsgn 15012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-i2m1 11096  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-neg 11369  df-sgn 15013

This theorem is referenced by:  sgnclre  32796  sgnmulsgn  32806  sgnmulsgp  32807  cos9thpiminplylem2  33769  signstcl  34552  signstf  34553  signstf0  34555  signstfvn  34556  signsvtn0  34557  signstfvneq0  34559  signsvfn  34569