Theorem sgncl 33525

Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgncl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
2	1	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3		sgn0 15032	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5		c0ex 11204	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	tpid2 4773	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
7	4, 6	eqeltrdi 2841	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8		sgnn 15037	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9		negex 11454	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
10	9	tpid1 4771	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
11	8, 10	eqeltrdi 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
12	11	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13		sgnp 15033	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14		1ex 11206	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid3 4776	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
16	13, 15	eqeltrdi 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
17	16	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18		0xr 11257	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19		xrlttri2 13117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
20	19	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
21	18, 20	mpanl2 699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
22	12, 17, 21	mpjaodan 957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
23	7, 22	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {ctp 4631   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  0cc0 11106  1c1 11107  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  -cneg 11441  sgncsgn 15029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-neg 11443  df-sgn 15030

This theorem is referenced by:  sgnclre  33526  sgnmulsgn  33536  sgnmulsgp  33537  signstcl  33564  signstf  33565  signstf0  33567  signstfvn  33568  signsvtn0  33569  signstfvneq0  33571  signsvfn  33581