Theorem sgncl 15130

Description: Closure of the signum: The signum of an extended real is either -1 or 0 or 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgncl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
2	1	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3		sgn0 15122	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5		c0ex 11196	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	tpid2 4738	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
7	4, 6	eqeltrdi 2877	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8		sgnn 15127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9		negex 11451	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
10	9	tpid1 4736	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
11	8, 10	eqeltrdi 2877	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
12	11	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13		sgnp 15123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14		1ex 11199	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid3 4741	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
16	13, 15	eqeltrdi 2877	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
17	16	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18		0xr 11252	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19		xrlttri2 13163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
20	19	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
21	18, 20	mpanl2 713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
22	12, 17, 21	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
23	7, 22	pm2.61dane 3051	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {ctp 4595   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  0cc0 11096  1c1 11097  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239  -cneg 11438  sgncsgn 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-i2m1 11164  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-neg 11440  df-sgn 15120

This theorem is referenced by:  sgnrn  15131  sgnclre  15135  sgnmulsgn  15142  sgnmulsgp  33113  cos9thpiminplylem2  34114  signstcl  34893  signstf  34894  signstf0  34896  signstfvn  34897  signsvtn0  34898  signstfvneq0  34900  signsvfn  34910