Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgncl 34541
Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgncl (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
21fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3 sgn0 15128 . . . 4 (sgn‘0) = 0
42, 3eqtrdi 2793 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5 c0ex 11255 . . . 4 0 ∈ V
65tpid2 4770 . . 3 0 ∈ {-1, 0, 1}
74, 6eqeltrdi 2849 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8 sgnn 15133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9 negex 11506 . . . . . 6 -1 ∈ V
109tpid1 4768 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
118, 10eqeltrdi 2849 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
1211adantlr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13 sgnp 15129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14 1ex 11257 . . . . . 6 1 ∈ V
1514tpid3 4773 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
1613, 15eqeltrdi 2849 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
1716adantlr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18 0xr 11308 . . . 4 0 ∈ ℝ*
19 xrlttri2 13184 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2019biimpa 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2118, 20mpanl2 701 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2212, 17, 21mpjaodan 961 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
237, 22pm2.61dane 3029 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {ctp 4630   class class class wbr 5143  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  -cneg 11493  sgncsgn 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-neg 11495  df-sgn 15126
This theorem is referenced by:  sgnclre  34542  sgnmulsgn  34552  sgnmulsgp  34553  signstcl  34580  signstf  34581  signstf0  34583  signstfvn  34584  signsvtn0  34585  signstfvneq0  34587  signsvfn  34597
  Copyright terms: Public domain W3C validator