Theorem sgncl 31798

Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgncl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
2	1	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3		sgn0 14450	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
4	2, 3	syl6eq 2874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5		c0ex 10637	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	tpid2 4708	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
7	4, 6	eqeltrdi 2923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8		sgnn 14455	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9		negex 10886	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
10	9	tpid1 4706	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
11	8, 10	eqeltrdi 2923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
12	11	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13		sgnp 14451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14		1ex 10639	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid3 4711	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
16	13, 15	eqeltrdi 2923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
17	16	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18		0xr 10690	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19		xrlttri2 12538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
20	19	biimpa 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
21	18, 20	mpanl2 699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
22	12, 17, 21	mpjaodan 955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
23	7, 22	pm2.61dane 3106	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {ctp 4573   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  0cc0 10539  1c1 10540  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  -cneg 10873  sgncsgn 14447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-i2m1 10607  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-neg 10875  df-sgn 14448

This theorem is referenced by:  sgnclre  31799  sgnmulsgn  31809  sgnmulsgp  31810  signstcl  31837  signstf  31838  signstf0  31840  signstfvn  31841  signsvtn0  31842  signstfvneq0  31844  signsvfn  31854