Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgncl 33368
Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgncl (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
21fveq2d 6882 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3 sgn0 15018 . . . 4 (sgn‘0) = 0
42, 3eqtrdi 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5 c0ex 11190 . . . 4 0 ∈ V
65tpid2 4767 . . 3 0 ∈ {-1, 0, 1}
74, 6eqeltrdi 2840 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8 sgnn 15023 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9 negex 11440 . . . . . 6 -1 ∈ V
109tpid1 4765 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
118, 10eqeltrdi 2840 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
1211adantlr 713 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13 sgnp 15019 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14 1ex 11192 . . . . . 6 1 ∈ V
1514tpid3 4770 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
1613, 15eqeltrdi 2840 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
1716adantlr 713 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18 0xr 11243 . . . 4 0 ∈ ℝ*
19 xrlttri2 13103 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2019biimpa 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2118, 20mpanl2 699 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2212, 17, 21mpjaodan 957 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
237, 22pm2.61dane 3028 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  {ctp 4626   class class class wbr 5141  cfv 6532  0cc0 11092  1c1 11093  *cxr 11229   < clt 11230  -cneg 11427  sgncsgn 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-i2m1 11160  ax-rnegex 11163  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-neg 11429  df-sgn 15016
This theorem is referenced by:  sgnclre  33369  sgnmulsgn  33379  sgnmulsgp  33380  signstcl  33407  signstf  33408  signstf0  33410  signstfvn  33411  signsvtn0  33412  signstfvneq0  33414  signsvfn  33424
  Copyright terms: Public domain W3C validator