Theorem sgncl 15154

Description: Closure of the signum: The signum of an extended real is either -1 or 0 or 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgncl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
2	1	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3		sgn0 15146	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5		c0ex 11211	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	tpid2 4738	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
7	4, 6	eqeltrdi 2873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8		sgnn 15151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9		negex 11466	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
10	9	tpid1 4736	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
11	8, 10	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
12	11	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13		sgnp 15147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14		1ex 11214	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid3 4741	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
16	13, 15	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
17	16	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18		0xr 11267	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19		xrlttri2 13179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
20	19	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
21	18, 20	mpanl2 714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
22	12, 17, 21	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
23	7, 22	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {ctp 4595   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  0cc0 11111  1c1 11112  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254  -cneg 11453  sgncsgn 15143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-i2m1 11179  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-neg 11455  df-sgn 15144

This theorem is used by:  sgnrn  15155  sgnclre  15159  sgnmulsgn  15166  sgnmulsgp  33222  cos9thpiminplylem2  34213  signstcl  34993  signstf  34994  signstf0  34996  signstfvn  34997  signsvtn0  34998  signstfvneq0  35000  signsvfn  35010