Theorem slmd0cl 31471

Description: The ring zero in a semimodule belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmd0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmd0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmd0cl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmd0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmd0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 31460	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		slmd0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		slmd0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	srg0cl 19755	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  SRingcsrg 19741  SLModcslmd 31453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-cmn 19388  df-srg 19742  df-slmd 31454

This theorem is referenced by:  slmd0vs  31477