Theorem slmd0cl 33279

Description: The ring zero in a semimodule belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmd0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmd0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmd0cl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmd0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmd0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33268	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		slmd0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		slmd0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	srg0cl 20137	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182  0_gc0g 17361  SRingcsrg 20123  SLModcslmd 33261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cmn 19713  df-srg 20124  df-slmd 33262

This theorem is referenced by:  slmd0vs  33285