Theorem slmd0cl 33451

Description: The ring zero in a semimodule belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmd0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmd0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmd0cl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmd0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmd0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33440	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		slmd0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		slmd0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	srg0cl 20273	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303  0_gc0g 17482  SRingcsrg 20259  SLModcslmd 33433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-cmn 19843  df-srg 20260  df-slmd 33434

This theorem is referenced by:  slmd0vs  33457