Theorem srg0cl 20172

Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg0cl	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem srg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20162	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2		srg0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srg0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	mndidcl 18708	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  SRingcsrg 20158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cmn 19748  df-srg 20159

This theorem is referenced by:  srgisid  20181  srgen1zr  20188  srglmhm  20193  srgrmhm  20194  slmd0cl  33294  slmdvs0  33301