Theorem srg0cl 20197

Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg0cl	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem srg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20187	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2		srg0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srg0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	mndidcl 18762	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SRingcsrg 20183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800  df-srg 20184

This theorem is referenced by:  srgisid  20206  srgen1zr  20213  srglmhm  20218  srgrmhm  20219  slmd0cl  33224  slmdvs0  33231