Theorem srg0cl 20459

Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg0cl	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem srg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20449	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2		srg0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srg0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	mndidcl 18971	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  Mndcmnd 18955  SRingcsrg 20445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-cmn 20029  df-srg 20446

This theorem is used by:  srgisid  20468  srgen1zr0  20475  srglmhm  20480  srgrmhm  20481  slmd0cl  33855  slmdvs0  33862