Theorem srg0cl 20103

Description: The zero element of a semiring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg0cl	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem srg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20093	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2		srg0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srg0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	mndidcl 18641	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626  SRingcsrg 20089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-cmn 19679  df-srg 20090

This theorem is referenced by:  srgisid  20112  srgen1zr  20119  srglmhm  20124  srgrmhm  20125  slmd0cl  33170  slmdvs0  33177