Theorem 1ne0sr 11011

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 11009	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 10996	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 5557	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 11010	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 5102	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 197	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099   Or wor 5532  Rcnr 10780  0_Rc0r 10781  1_Rc1r 10782   <_R cltr 10786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-ni 10787  df-pli 10788  df-mi 10789  df-lti 10790  df-plpq 10823  df-mpq 10824  df-ltpq 10825  df-enq 10826  df-nq 10827  df-erq 10828  df-plq 10829  df-mq 10830  df-1nq 10831  df-rq 10832  df-ltnq 10833  df-np 10896  df-1p 10897  df-plp 10898  df-ltp 10900  df-enr 10970  df-nr 10971  df-ltr 10974  df-0r 10975  df-1r 10976

This theorem is referenced by:  ax1ne0  11075