Theorem 1ne0sr 11152

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 11150	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 11137	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 5579	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 11151	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 5105	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 261	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 200	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102   Or wor 5554  Rcnr 10921  0_Rc0r 10922  1_Rc1r 10923   <_R cltr 10927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-ni 10928  df-pli 10929  df-mi 10930  df-lti 10931  df-plpq 10964  df-mpq 10965  df-ltpq 10966  df-enq 10967  df-nq 10968  df-erq 10969  df-plq 10970  df-mq 10971  df-1nq 10972  df-rq 10973  df-ltnq 10974  df-np 11037  df-1p 11038  df-plp 11039  df-ltp 11041  df-enr 11111  df-nr 11112  df-ltr 11115  df-0r 11116  df-1r 11117

This theorem is used by:  ax1ne0  11216