Theorem 1ne0sr 11087

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 11085	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 11072	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 5592	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 11086	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 5111	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 261	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 200	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   Or wor 5567  Rcnr 10856  0_Rc0r 10857  1_Rc1r 10858   <_R cltr 10862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-1p 10973  df-plp 10974  df-ltp 10976  df-enr 11046  df-nr 11047  df-ltr 11050  df-0r 11051  df-1r 11052

This theorem is used by:  ax1ne0  11151