Theorem 1ne0sr 11008

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 11006	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 10993	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 5552	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 11007	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 5077	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 197	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074   Or wor 5527  Rcnr 10777  0_Rc0r 10778  1_Rc1r 10779   <_R cltr 10783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-ni 10784  df-pli 10785  df-mi 10786  df-lti 10787  df-plpq 10820  df-mpq 10821  df-ltpq 10822  df-enq 10823  df-nq 10824  df-erq 10825  df-plq 10826  df-mq 10827  df-1nq 10828  df-rq 10829  df-ltnq 10830  df-np 10893  df-1p 10894  df-plp 10895  df-ltp 10897  df-enr 10967  df-nr 10968  df-ltr 10971  df-0r 10972  df-1r 10973

This theorem is referenced by:  ax1ne0  11072