Theorem 1ne0sr 11090

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 11088	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 11075	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 5604	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 11089	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 5144	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 196	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   Or wor 5580  Rcnr 10859  0_Rc0r 10860  1_Rc1r 10861   <_R cltr 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-1p 10976  df-plp 10977  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-ltr 11053  df-0r 11054  df-1r 11055

This theorem is referenced by:  ax1ne0  11154