Theorem nodenselem7 32166

Description: Lemma for nodense 32168. 𝐴 and 𝐵 are equal at all elements of the abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodenselem7	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎

Proof of Theorem nodenselem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 ∈ No )
2		simplr 776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐵 ∈ No )
3		sltso 32153	. . . . . . . . 9 ⊢ <s Or No
4		sonr 5260	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <s Or No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
5	3, 4	mpan 673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6		breq2 4855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
7	6	notbid 309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
8	5, 7	syl5ibcom 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
9	8	necon2ad 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵))
10	9	imp 395	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	ad2ant2rl 746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 11	3jca 1151	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
13		nosepeq 32161	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶))
14	12, 13	sylan 571	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶))
15	14	ex 399	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1100   = wceq 1637   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2985  {crab 3107  ∩ cint 4676   class class class wbr 4851   Or wor 5238  Oncon0 5943  ‘cfv 6104   No csur 32119   <s cslt 32120   bday cbday 32121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-ord 5946  df-on 5947  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-1o 7799  df-2o 7800  df-no 32122  df-slt 32123

This theorem is referenced by:  nodense  32168