Theorem nodenselem7 27736

Description: Lemma for nodense 27738. 𝐴 and 𝐵 are equal at all elements of the abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodenselem7	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎

Proof of Theorem nodenselem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 ∈ No )
2		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐵 ∈ No )
3		sltso 27722	. . . . . . . . 9 ⊢ <s Or No
4		sonr 5615	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <s Or No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
5	3, 4	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6		breq2 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
7	6	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
8	5, 7	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
9	8	necon2ad 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵))
10	9	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	ad2ant2rl 749	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 11	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
13		nosepeq 27731	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶))
14	12, 13	sylan 580	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶))
15	14	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (( bday ‘𝐴) = ( bday ‘𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 ∈ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} → (𝐴‘𝐶) = (𝐵‘𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3435  ∩ cint 4945   class class class wbr 5142   Or wor 5590  Oncon0 6383  ‘cfv 6560   No csur 27685   <s cslt 27686   bday cbday 27687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689

This theorem is referenced by:  nodense  27738