Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nodenselem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodenselem7 32177
Description: Lemma for nodense 32179. 𝐴 and 𝐵 are equal at all elements of the abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodenselem7 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎

Proof of Theorem nodenselem7
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 No )
2 simplr 752 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐵 No )
3 sltso 32164 . . . . . . . . 9 <s Or No
4 sonr 5192 . . . . . . . . 9 (( <s Or No 𝐴 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
53, 4mpan 670 . . . . . . . 8 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6 breq2 4791 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴𝐴 <s 𝐵))
76notbid 307 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
85, 7syl5ibcom 235 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
98necon2ad 2958 . . . . . 6 (𝐴 No → (𝐴 <s 𝐵𝐴𝐵))
109imp 393 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ad2ant2rl 743 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴𝐵)
121, 2, 113jca 1122 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵))
13 nosepeq 32172 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)}) → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))
1412, 13sylan 569 . 2 ((((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) ∧ 𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)}) → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))
1514ex 397 1 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065   cint 4612   class class class wbr 4787   Or wor 5170  Oncon0 5865  cfv 6030   No csur 32130   <s cslt 32131   bday cbday 32132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-1o 7717  df-2o 7718  df-no 32133  df-slt 32134
This theorem is referenced by:  nodense  32179
  Copyright terms: Public domain W3C validator