MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nodenselem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodenselem4 27747
Description: Lemma for nodense 27752. Show that a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodenselem4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem4
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 No )
2 simplr 769 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 No )
3 sltso 27736 . . . . . . 7 <s Or No
4 sonr 5621 . . . . . . 7 (( <s Or No 𝐴 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
53, 4mpan 690 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
7 breq2 5152 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴𝐴 <s 𝐵))
87notbid 318 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
96, 8syl5ibcom 245 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
109necon2ad 2953 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵𝐴𝐵))
1110imp 406 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴𝐵)
12 nosepon 27725 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
131, 2, 11, 12syl3anc 1370 1 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433   cint 4951   class class class wbr 5148   Or wor 5596  Oncon0 6386  cfv 6563   No csur 27699   <s cslt 27700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703
This theorem is referenced by:  nodenselem6  27749  nodense  27752
  Copyright terms: Public domain W3C validator