Theorem nodenselem4 27627

Description: Lemma for nodense 27632. Show that a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodenselem4	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
2		simplr 768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
3		sltso 27616	. . . . . . 7 ⊢ <s Or No
4		sonr 5551	. . . . . . 7 ⊢ (( <s Or No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
5	3, 4	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
7		breq2 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
8	7	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
9	6, 8	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
10	9	necon2ad 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵))
11	10	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		nosepon 27605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396  ∩ cint 4897   class class class wbr 5093   Or wor 5526  Oncon0 6311  ‘cfv 6486   No csur 27579   <s cslt 27580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-1o 8391  df-2o 8392  df-no 27582  df-slt 27583

This theorem is referenced by:  nodenselem6  27629  nodense  27632