Theorem nodenselem4 28077

Description: Lemma for nodense 28082. Show that a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodenselem4	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No)
2		simplr 781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No)
3		ltsso 28066	. . . . . . 7 ⊢ <s Or No
4		sonr 5588	. . . . . . 7 ⊢ (( <s Or No ∧ 𝐴 ∈ No) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
5	3, 4	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
7		breq2 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
8	7	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
9	6, 8	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
10	9	necon2ad 2974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵))
11	10	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		nosepon 28055	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)
13	1, 2, 11, 12	syl3anc 1399	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  ∩ cint 4910   class class class wbr 5106   Or wor 5563  Oncon0 6383  ‘cfv 6561  Nocsur 28030   <s clts 28031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034

This theorem is used by:  nodenselem6  28079  nodense  28082