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Theorem suppr 9087
Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suppr ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem suppr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
2 ifcl 4484 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
323adant1 1132 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
4 ifpr 4607 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
543adant1 1132 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
6 breq1 5056 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
76notbid 321 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
8 breq1 5056 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
98notbid 321 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
10 sonr 5491 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
11103adant3 1134 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
1211adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
13 simpr 488 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
147, 9, 12, 13ifbothda 4477 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵)
15 breq1 5056 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
1615notbid 321 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
17 breq1 5056 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
1817notbid 321 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
19 so2nr 5494 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶𝐴𝐵𝐴)) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
20193impb 1117 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
21203com23 1128 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
22 imnan 403 . . . . . . 7 ((𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶) ↔ ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
2321, 22sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
2423imp 410 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶)
25 sonr 5491 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
26253adant2 1133 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
2726adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
2816, 18, 24, 27ifbothda 4477 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)
29 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
3029notbid 321 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
31 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
3231notbid 321 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
3330, 32ralprg 4610 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
34333adant1 1132 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
3514, 28, 34mpbir2and 713 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
3635r19.21bi 3130 . 2 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶}) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
371, 3, 5, 36supmax 9083 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  ifcif 4439  {cpr 4543   class class class wbr 5053   Or wor 5467  supcsup 9056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-po 5468  df-so 5469  df-iota 6338  df-riota 7170  df-sup 9058
This theorem is referenced by:  supsn  9088  infsupprpr  9120  2resupmax  12778  tmsxpsval2  23437  esumsnf  31744  limsup10ex  42989  sge0sn  43592  prproropf1olem2  44629  prproropf1olem3  44630  prproropf1olem4  44631
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