Theorem suppr 9230

Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
suppr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem suppr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
2		ifcl 4504	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
3	2	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
4		ifpr 4627	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
5	4	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
6		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
7	6	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
8		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
9	8	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
10		sonr 5526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
11	10	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
14	7, 9, 12, 13	ifbothda 4497	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵)
15		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
16	15	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
17		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
18	17	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
19		so2nr 5529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
20	19	3impb 1114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
21	20	3com23 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
22		imnan 400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶) ↔ ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
23	21, 22	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
24	23	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶)
25		sonr 5526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
26	25	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
28	16, 18, 24, 27	ifbothda 4497	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)
29		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
30	29	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
31		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
32	31	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
33	30, 32	ralprg 4630	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
34	33	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
35	14, 28, 34	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
36	35	r19.21bi 3134	. 2 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶}) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
37	1, 3, 5, 36	supmax 9226	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ifcif 4459  {cpr 4563   class class class wbr 5074   Or wor 5502  supcsup 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-po 5503  df-so 5504  df-iota 6391  df-riota 7232  df-sup 9201

This theorem is referenced by:  supsn  9231  infsupprpr  9263  2resupmax  12922  tmsxpsval2  23695  esumsnf  32032  limsup10ex  43314  sge0sn  43917  prproropf1olem2  44956  prproropf1olem3  44957  prproropf1olem4  44958