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Theorem suppr 9412
Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suppr ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem suppr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
2 ifcl 4532 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
323adant1 1131 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
4 ifpr 4653 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
543adant1 1131 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
6 breq1 5109 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
76notbid 318 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
8 breq1 5109 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
98notbid 318 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
10 sonr 5569 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
11103adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
1211adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
13 simpr 486 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
147, 9, 12, 13ifbothda 4525 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵)
15 breq1 5109 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
1615notbid 318 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
17 breq1 5109 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
1817notbid 318 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
19 so2nr 5572 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶𝐴𝐵𝐴)) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
20193impb 1116 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
21203com23 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
22 imnan 401 . . . . . . 7 ((𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶) ↔ ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
2321, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
2423imp 408 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶)
25 sonr 5569 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
26253adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
2726adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
2816, 18, 24, 27ifbothda 4525 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)
29 breq2 5110 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
3029notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
31 breq2 5110 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
3231notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
3330, 32ralprg 4656 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
34333adant1 1131 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
3514, 28, 34mpbir2and 712 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
3635r19.21bi 3233 . 2 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶}) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
371, 3, 5, 36supmax 9408 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  ifcif 4487  {cpr 4589   class class class wbr 5106   Or wor 5545  supcsup 9381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-po 5546  df-so 5547  df-iota 6449  df-riota 7314  df-sup 9383
This theorem is referenced by:  supsn  9413  infsupprpr  9445  2resupmax  13113  tmsxpsval2  23911  esumsnf  32720  limsup10ex  44100  sge0sn  44706  prproropf1olem2  45782  prproropf1olem3  45783  prproropf1olem4  45784
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