Theorem suppr 9428

Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
suppr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem suppr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
2		ifcl 4535	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
3	2	3adant1 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
4		ifpr 4661	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
5	4	3adant1 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
6		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
7	6	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
8		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
9	8	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
10		sonr 5591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
11	10	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
12	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
14	7, 9, 12, 13	ifbothda 4528	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵)
15		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
16	15	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
17		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
18	17	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
19		so2nr 5595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
20	19	3impb 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
21	20	3com23 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
22		imnan 404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶) ↔ ¬ (𝐶𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶))
23	21, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
24	23	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶)
25		sonr 5591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
26	25	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
28	16, 18, 24, 27	ifbothda 4528	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)
29		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
30	29	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
31		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
32	31	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
33	30, 32	ralprg 4664	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
34	33	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
35	14, 28, 34	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
36	35	r19.21bi 3263	. 2 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶}) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
37	1, 3, 5, 36	supmax 9424	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ifcif 4489  {cpr 4593   class class class wbr 5110   Or wor 5566  supcsup 9396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-po 5567  df-so 5568  df-iota 6489  df-riota 7365  df-sup 9398

This theorem is referenced by:  supsn  9429  infsupprpr  9462  2resupmax  13210  tmsxpsval2  24661  esumsnf  34395  limsup10ex  46372  sge0sn  46978  prproropf1olem2  48135  prproropf1olem3  48136  prproropf1olem4  48137