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Theorem suppr 9403
Description: The supremum of a pair. (Contributed by NM, 17-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suppr ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem suppr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
2 ifcl 4529 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
323adant1 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ 𝐴)
4 ifpr 4650 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
543adant1 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐵, 𝐶})
6 breq1 5106 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
76notbid 317 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
8 breq1 5106 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
98notbid 317 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
10 sonr 5566 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
11103adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
1211adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
13 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐵)
147, 9, 12, 13ifbothda 4522 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵)
15 breq1 5106 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
1615notbid 317 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
17 breq1 5106 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (𝐶𝑅𝐶 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
1817notbid 317 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) → (¬ 𝐶𝑅𝐶 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
19 so2nr 5569 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶𝐴𝐵𝐴)) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
20193impb 1115 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
21203com23 1126 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
22 imnan 400 . . . . . . 7 ((𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶) ↔ ¬ (𝐶𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
2321, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
2423imp 407 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶)
25 sonr 5566 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
26253adant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
2726adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝐶)
2816, 18, 24, 27ifbothda 4522 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)
29 breq2 5107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
3029notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵))
31 breq2 5107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
3231notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶))
3330, 32ralprg 4653 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
34333adant1 1130 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦 ↔ (¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐵 ∧ ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝐶)))
3514, 28, 34mpbir2and 711 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → ∀𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶} ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
3635r19.21bi 3232 . 2 (((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐵, 𝐶}) → ¬ if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)𝑅𝑦)
371, 3, 5, 36supmax 9399 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  ifcif 4484  {cpr 4586   class class class wbr 5103   Or wor 5542  supcsup 9372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-po 5543  df-so 5544  df-iota 6445  df-riota 7309  df-sup 9374
This theorem is referenced by:  supsn  9404  infsupprpr  9436  2resupmax  13099  tmsxpsval2  23879  esumsnf  32532  limsup10ex  43946  sge0sn  44552  prproropf1olem2  45628  prproropf1olem3  45629  prproropf1olem4  45630
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