MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltnr 11348
Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltnr (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnr
StepHypRef Expression
1 ltso 11333 . 2 < Or ℝ
2 sonr 5608 . 2 (( < Or ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
31, 2mpan 688 1 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2099   class class class wbr 5144   Or wor 5584  cr 11146   < clt 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-resscn 11204  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-ltxr 11292
This theorem is referenced by:  ltne  11350  ltnri  11362  ltnrd  11387  squeeze0  12161  xrltnr  13145
  Copyright terms: Public domain W3C validator