Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssltdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltdisj 33778
Description: If 𝐴 preceeds 𝐵, then 𝐴 and 𝐵 are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltdisj (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ssltdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 33746 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
21sselda 3916 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 No )
3 sltirr 33712 . . . . 5 (𝑥 No → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
5 ssltsepc 33750 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
653expa 1120 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
74, 6mtand 816 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
87ralrimiva 3106 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
9 disj 4377 . 2 ((𝐴𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
108, 9sylibr 237 1 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  cin 3880  c0 4252   class class class wbr 5068   No csur 33606   <s cslt 33607   <<s csslt 33738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pr 5337  ax-un 7542
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-ord 6234  df-on 6235  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-fv 6406  df-1o 8223  df-2o 8224  df-no 33609  df-slt 33610  df-sslt 33739
This theorem is referenced by:  sltlpss  33850
  Copyright terms: Public domain W3C validator