Theorem ssltdisj 27759

Description: If 𝐴 preceeds 𝐵, then 𝐴 and 𝐵 are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssltdisj	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ssltdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltss1 27723	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
2	1	sselda 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ No )
3		sltirr 27680	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
5		ssltsepc 27729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
6	5	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
7	4, 6	mtand 815	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
9		disj 4395	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896  ∅c0 4278   class class class wbr 5086   No csur 27573   <s cslt 27574   <<s csslt 27715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-1o 8380  df-2o 8381  df-no 27576  df-slt 27577  df-sslt 27716

This theorem is referenced by:  sltlpss  27848  slelss  27849