MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltdisj 27182
Description: If 𝐴 preceeds 𝐵, then 𝐴 and 𝐵 are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltdisj (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ssltdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 27150 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
21sselda 3945 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 No )
3 sltirr 27110 . . . . 5 (𝑥 No → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
5 ssltsepc 27154 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
653expa 1119 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
74, 6mtand 815 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
87ralrimiva 3140 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
9 disj 4408 . 2 ((𝐴𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
108, 9sylibr 233 1 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cin 3910  c0 4283   class class class wbr 5106   No csur 27004   <s cslt 27005   <<s csslt 27142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-1o 8413  df-2o 8414  df-no 27007  df-slt 27008  df-sslt 27143
This theorem is referenced by:  sltlpss  27258
  Copyright terms: Public domain W3C validator