Theorem ssltdisj 27733

Description: If 𝐴 preceeds 𝐵, then 𝐴 and 𝐵 are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssltdisj	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ssltdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltss1 27700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
2	1	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ No )
3		sltirr 27658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 <s 𝑥)
5		ssltsepc 27705	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
6	5	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑥)
7	4, 6	mtand 815	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
9		disj 4413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
10	8, 9	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3913  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   No csur 27551   <s cslt 27552   <<s csslt 27692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-sslt 27693

This theorem is referenced by:  sltlpss  27819  slelss  27820