Theorem subsfn 27930

Description: Surreal subtraction is a function over pairs of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subsfn	⊢ -s Fn ( No × No )

Proof of Theorem subsfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-subs 27928	. 2 ⊢ -s = (𝑥 ∈ No , 𝑦 ∈ No ↦ (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)))
2		ovex 7420	. 2 ⊢ (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8049	1 ⊢ -s Fn ( No × No )

Syntax hints:   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   No csur 27551   +_s cadds 27866   -u_s cnegs 27925   -_s csubs 27926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-subs 27928

This theorem is referenced by:  zsex  28268  elzs  28272